Skip to main content

Full text of "Bases physiques de la musique"

See other formats 


I 


' 


sc/E.y  n  \ 

\\  i  il    i  906. 


phys.-ma.th1w  \T1QUE 

nc  28  M  1  a 


BASES  PHYSIQUES  DE  LA  MUSIQUE 


M.  H-   BOUASSE, 

PKOFESSEl'R    A    LA   FACILTÉ    1>ES   SCIENCES   DE   TOULOUSE. 


Scientia.  n°  ?8. 


BIBt!OlHrO'lrS 


LIURARIES  % 


BASES  PHYSIQUES  DE  LA  MUSIQUE. 


INTRODUCTION. 


3HÏÔ 


Dès  la  première  fois  que  j'ai  lu  le  traité  dTIelmholtz  sur 
la  Théorie  physiologique  de  la  Musique  (1),  voici  bien  loi 
vingt  ans,  j'ai  ressenti  pour  ce  Livre  une  admiration  pro- 
fonde. Depuis  je  l'ai  souvent  relu  et  mon  admiration  n'a 
pas  diminué. 

Cependant,  s'il  m'arrive  d'en  parler  devant  des  phvsiciens, 
je  constate  que  neuf  sur  dix  n'en  connaissent  que  le  litre  : 
ils  sont  excusables,  le  volume  est  gros  et  la  vie  brève.  Mais 
ils  semblent  croire  que  ce  livre,  écrit  voilà  près  de  cin- 
quante ans,  est  vieux  jeu  et  plus  du  tout  à  la  hauteur;  à  les 
entendre,  ils  n'ont  que  faire  de  le  méditer. 

Quand  j'en  parle  à  un  musicien,  ma  malechance  veut  que, 
sans  jamais  l'avoir  lu,  mon  interlocuteur  le  déclare  démodé, 
faux,  bon  à  mettre  au  pilon.  Par  quoi  il  songe  à  le  remplacer 
est  généralement  assez  obscur  et  gît  encore  dans  les  limbes 
de  son  cerveau.  Il  se  fait  naturellement  l'idée  la  plus  fausse 
de.  ce  que  les  physiciens  entendent  par  une  théorie,  et  se 
contente  d'explications  qui  ne  sont  que  des  métaphores. 

Récemment,  tout  en  écrivant  pour  la  Revue  générale  des 
Sciences  un  article  de  vulgarisation  Sur  la  Gamme  (auquel 
je  renvoie  le  lecteur),  j'ai  pensé  qu'il  serait  utile  de  mettre 
les  principes  d'Helmholtz  à  la  portée  de  tous,  en  les  résu- 


(')  Théorie  physiologique  de  la  musique  (avec  appendice).  MassoD, 
i&7^.  Cette  traduction  due  à  M.  Guéroult  est  excellente;  l'appendice 
contient  quelques  notes  du  traducteur  sur  la  question  difficile  de  la 
gamine  Pythagoricienne  et  sur  l'importance  de  la  gamme  naturelle 
comme  gamme  mélodique. 


4  INTRODUCTION. 

mant  dans  un  livre  court  et  clair,  autant  que  possible.  La 
collection  Scientia  offrait  le  cadre  voulu.  Le  lecteur  trou- 
vera donc,  dans  l'Ouvrage  que  je  lui  présente,  une  étude  des 
Bases  physiques  de  la  Musique  suivant  les  principes  d'Helm- 
hollz. 

Je  ne  risque  pas  grand'chose  à  prendre  ce  guide.  Si  beaux, 
en  effet,  que  soient  les  travaux  d'Ilelmholtz  en  Musique 
physique,  il  n'a  rien  bouleversé.  11  a  surtout  codifié,  expliqué 
mathématiquement  et  mécaniquement,  réduit  en  un  corps 
de  doctrine,  les  faits  que  des  musiciens  éminents,  des  physi- 
ciens illustres  avaient  découverts  avant  lui.  On  peut  même 
lui  reprocher  de  ne  pas  avoir  spécifié  assez  explicitement  la 
part  de  ses  devanciers  :  au  fond,  son  explication  de  la  parenté 
des  sons  est  celle  de  Rameau;  sa  théorie  de  la  dissonance, 
,  celle  de  Sauveur.  Helmholtz  est  l'aboutissement  d'une  grande 
tradition  :  c'est  pourquoi  son  opinion  est  sûre;  le  lecteur  peut 
\  avoir  confiance. 

Du  reste,  il  faut  connaître  pour  critiquer.  Ceux  mêmes  à 
qui  la  théorie  d'Helmholiz  paraîtra  contestable  me  sauront 
gré  de  leur  faciliter  le  moyen  de  la  comprendre  et  de  l'amé- 
liorer. 

Bien  entendu  je  n'ai  pas  la  prétention  de  mettre  en  une  cen- 
taine de  pages  tout  ce  que  contiennent  les  65o  pages  de  la 
traduction  française  de  la  Théorie  physiologique  de  la  Mu- 
sique;'^: parviendrais  d'autant  plus  difficilement  que,  pour 
composer  un  tableau  d'ensemble,  je  dois  parler  de  quantité 
de  questions  dont  Helmholtz  ne  dit  mot.  Si  je  rendais  plus 
aisée  et  plus  attrayante  la  lecture  de  son  beau  livre,  je  serais 
largement  payé  de  ma  peine. 

Je  ne  suis  pas  tout  à  fait  étranger  aux  choses  de  la  Musique 
envisagée  comme  art.  Sans  exagérer  ma  compétence,  j'espère 
éviter  les  erreurs  lourdes  auxquelles  on  s'expose  quaud  on 
parle  d'un  art  sans  le  pratiquer.  D'ailleurs  je  m'en  abstiendrai 
autant  que  possible,  l'esthétique  étant  à  la  limite  de  mon 
./Sujet.  Je  passerai  donc  systématiquement  sous  silence  une 
foule  de  questions  de  détail,  longuement  traitées  par  Helm- 
holtz. qui  allongeraient  mon  texte  sans  éclaircir  davantage 
les  principes. 


HAlTEUR    DES   SONS.    INTERVALLES.    DEFINITION    DU    SAVART.  D 

CHAPITRE  I. 

HAUTEUR    DES    SONS.    INTERVALLES.    DÉFINITION    DU    SAVAKT    (1). 

Le  son  peut  être  considéré  objectivement  ou  subjective- 
ment, c'est-à-dire  soit  comme  la  vibration  d'un  corps  exté- 
rieur à  l'oreille  (vibration  que  nous  étudions  par  les  pro- 
cédés ordinaires  de  la  physique),  soit  comme  une  sensation. 
Dans  ce  premier  Chapitre  nous  l'envisageons  du  premier 
point  de  vue.  Les  propriétés  de  l'oreille  ne  sont  invoquées 
que  pour  légitimer  la  définition  de  V intervalle. 

1.  Son  musical.  Hauteur  d'un  son  musical.  —  On 
appelle  son  musical  un  mouvement  vibratoire  périodique 
quelconque.  Un  théorème  nous  apprend  que  la  projection  sur 
un  axe  d'un  déplacement  vibratoire  périodique  quelconque 
peut  toujours  s'exprimer  en  fonction  du  tempsàbaide  d'une 
série  de  sinus  ou  de  cosinus  de  la  forme 


!" 


x  =  at  sin((ol  —  2i)-f-  «2  sin(2u)£  —  a2) 


2  Tî 

On  pose  io  =  ■=-  )  T  est  la  période  du  mouvement  vibratoire. 

Donc  un  mouvement  vibratoire  périodique  quelconque  peut 
toujours  être  considéré  comme  la  superposition  de  mouve- 
ments périodiques  pendulaires,  simples,  sinusoïdaux  ou  har- 
moniques  (ces   quatre   épithètes   étant  exactement   équiva- 

T    T 

lentes),  dont  les  périodes  sont  T,  — >  ^-.j  •••;  leurs  ampli- 
tudes a,,  a2,  ....  et  leurs  phases  a,,  a2,  ...,  doivent  être  con- 
venablement choisies.  Si  l'on  connaît  la  fonction  périodique 
du  temps  x  —  F(t),  un  théorème  nous  apprend  à  calculer 
les  amplitudes  et  les  phases  des  différents  termes  de  la  série. 
Le  premier  terme  de  la  série  est  le  son  partiel  fonda- 

[')  J'invoquerai  souvent  des  propositions  mathématiques  ou  méca- 
niques dont  je  ne  pourrai  donner  la  démonstration  dans  ce  petit  Livre, 
d'abord  parce  que  l'espace  dont  je  dispose  est  limité,  ensuite  parce  que 
je  distrairais  l'attention  du  lecteur.  Il  me  suffira  d'énoncer  les  résul- 
tats: je  prie  le  lecteur  de  se  reporter  soit  aux  Traités  élémentaires  que 
s  j'ai  écrits  en  collaboration  avec  .M.  Brizard,  soit  au  cours  de  Licence  que 
,  je  ferai  paraître  prochainement. 


t 


(')  CHAPITRE    l. 

mental  ou  le  premier  harmonique;  le  second  terme  est  le. 
second  harmonique,  et  ainsi  de  suite.  Nous  sommes  obligés 
de  choisir  cette  définition  qui  est  bizarre  pour  le  premier 
terme,  afin  de  généraliser  les  énoncés.  II  existe  d'ailleurs 
dans  les  Traités  un  certain  vague  à  ce  sujet.  Le  même  auteur 
appelle  premier  Itarmonique  du  fondamental  le  second 
harmonique  de  la  série,  puis  écrit,  sans  se  douter  de  la  con- 
tradiction, que  les  tuyaux  bouchés  font  entendre  les  harmo- 
niques impairs  :  il  considère  alors  le  fondamental  comme 
premier  harmonique.  Lh  difficulté  tient  à  ce  qu'on  dit  habi- 
tuellement harmoniques  du  fondamental,  rattachant  tous 
les  termes  au  premier,  tandis  qu'ils  forment  réellement  une 
série  à' harmoniques. 

On  appelle  hauteur  d'un  son  le  nombre  N  —  i  ',  T  de 
vibrations  par  seconde  du  fondamental  ou,  d'après  notre 
définition,  du  premier  harmonique.  Les  hauteurs  des 
deuxième,  troisième,  ...,  /i,ime  harmoniques  sont  deux, 
trois,    ...,    n  fois   plus   grandes    que   celle  du  fondamental. 

Il  faut  bien  s'entendre  sur  la  signification  du  mot  musical; 
on  ne  veut  pas  dire  par  là  que  le  son  est  agréable.  D'après 
la  manière  dont  il  est  produit,  il  est  évident  que  le  son  d'une 
sirène  est  périodique  et  par. conséquent  musical  au  sens  dans 
lequel  nous  employons  le  mot:  on  sait  à  quel  point  il  est 
désagréable.  On  a  choisi  cette  définition  parce  que  tous  les 
sons  employés  en  musique  rentrent  dans  cette  catégorie. 

2.  Sons  complexes  à  partiels  non  harmoniques  du  fon- 
damental. —  Produisons  simultanément  deux  sons  simples 

a?j=  ai  sino)]  t,         X*  =  <z2  sin  a>2 1. 

Rien  ne  nous  empêche  de  choisir  u^  et  w2  incommensurables. 
Le  mouvement  qui  résulte  de  la  composition  des  deux  sons 
d'après  le  principe  des  petits  mouvements  n'est  pas  pério- 
dique, puisqu'un  nombre  entier/?  de  périodes  T,  ne  peut 
égaler  exactement  un  nombre  entier  q  de  périodes  T2. 

A  la  vérité,  on  peut  toujours  poser  approximativement 
pTi  =r^T2,  et  prenant  p  et  q  suffisamment  grands.  Soient 
Nj  et  ÎN2  les  nombres  de  vibrations.  On  a  donc  approxima- 
tivement 

^i  =  —  =  N;        Nt  =  «N,         N,  =  a  N. 
p  q 


HAUTEUR    DES    SOXS.    INTERVALLES.    DÉFINITION    DU    SAVART.  7 

Les  deux,  sons  peuvent  être  considérés  comme  des  harmo- 
niques très  élevés  d'un  son  de  hauteur  N.  Mais  cet  artifice 
n'a  aucun  intérêt  ni  mathématique  ni  physique. 

Nous  admettrons  qu'un  son  quelconque  permanent,  si  co  m- 
plexe  qu'il  soit,  peut  toujours  être  considéré  comme  composé 
d'un  certain  nombre  de  sons  musicaux,  ou,  ce  qui  revient  au 
même,  peut  toujours  être  représenté  par  un  certain  nombre 
de  séries  harmoniques.  On  aura  donc  généralement 

x  =  ai  sin(tt>2  —  ai)-t-  a-2^'\n(nù  t  —  ou)  -+-  <z3sin  (3  co  t  —  x3)-h.  . . 
-4-  bisin((a't —  £i)-l-  &2 si n  (2 0/ t—  °2)-+-  63sin(3to'<  —  £3) -H.  •  • 
-t-  Ci sïn(u>" t  —  Yi) -4-. ... 

3.  Mesure  de  la  hauteur  absolue  des  sons  musicaux.  — 
La  méthode  classique  consiste  à  produire  à  l'aide  d'une 
sirène  un  son  à  l'unisson  du  son  dont  on  veut  évaluer  la  hau- 
teur. L'oreille  exercée  reconnaît  en  effet  avec  beaucoup 
d'exactitude  quand  les  hauteurs  sont  les  mêmes,  c'est-à-dire 
quand  les  fondamentaux  des  deux  séries  ont  même  période. 

Cette  méthode  est  mauvaise  parce  que  le  son  de  la  sirène 
a  des  harmoniques  supérieurs  très  intenses;  nous  verrons 
qu'il  résulte  de  là  un  timbre  affreusement  criard.  Il  est  évi- 
dent que  l'oreille  juge  d'autant  mieux  l'unisson  que  les  deux 
séries  d'harmoniques  sont  plus  comparables;  comme  il  est 
rare  de  rencontrer  un  son  aussi  abominable  que  celui  de  la 
sirène,  la  comparaison  est  toujours  défectueuse.  L'avantage 
de  cette  méthode  réside  dans  la  facilité  très  grande  avec 
laquelle  on  mesure  la  hauteur  du  son  donné  par  la  sirène  : 
il  suffit  de  déterminer  la  vitesse  absolue  du  disque  tournant. 

L'emploi  de  la  roue  dentée  dont  les  dents  équidistantes 
frappent  une  carte  de  visite  présente  les  mêmes  inconvé- 
nients que  la  sirène.  Les  sons  contiennent  un  grand  nombre 
d'harmoniques  élevés  et  sont  peu  musicaux  au  sens  vulgaire 
du  mot. 

Quand  il  s'agit  de  diapasons,  on  peut  inscrire  directement 
leurs  vibrations  sur  un  cylindre  tournant;  on  connaît  la 
période  en  valeur  absolue  en  inscrivant  la  seconde  sur  le 
même  cylindre.  Mais  le  diapason  est  à  sons  fixes;  même 
additionné  de  masses  mobiles,  il  ne  fournit  que  des  sons  peu 
différents  les  uns  des  autres.  On  mesure  donc  aisément  la 
hauteur  du   son  propre  du  diapason;   mais  il  ne  peut  servir 


8  CHAlMTtlK    1. 

que  d'une  manière  exceptionnelle  à  mesurer  la  hauteur  d'un 
autre  son. 

La  méthode  la  plus  générale  pour  mesurer  la  hauteur 
absolue  d'un  son  consiste  à  utiliser  la  stroboscopie,  ce  qu'on 
fait  de  bien  des  manières.  On  regarde  par  exemple  l'objet 
vibrant  à  travers  un  disque  tournant,  percé  de  p  trous  équi- 
distants  sur  une  circonférence  concentrique  à  Taxe;  on  fait 
croître  la  vitesse  angulaire  à  partir  du  repos  jusqu'à  voir 
l'objet  immobile.  Soit  alors  q  le  nombre  par  seconde  de  tours 
du  disque;  la  hauteur  du  son  est  N  =pq-  On  détermine  géné- 
ralement sans  difficulté  le  nombre  q. 

Les  méthodes  de  résonance,  aujourd'hui  très  employées 
pour  déterminer  la  fréquence  des  courants  alternatifs,  s'ap- 
pliquent aisément  à  la  mesure  des  hauteurs.  Mlles  sont 
rapides,  mais  exigent  l'emploi  de  nombreux  résonateurs 
(lames,  diapasons )  dont  les  hauteurs  soient  préalable- 
ment connues. 

h.  Mesure  des  hauteurs  relatives  de  deux  sons.  —  La 
méthode  générale  consiste  à  comparer  ces  deux  sons  à  deux 
sons  respectivement  à  l'unisson  et  dont  on  connaît  les  hau- 
teurs relatives;  c'est-à-dire  dont  on  sait  que  l'un  fait  par 
seconde  n  fois  plus  de  vibrations  que  l'autre,  n  étant  un 
nombre  quelconque  entier  ou  fractionnaire. 

Pour  obtenir  deux  sons  dont  les  hauteurs  soient  dans  un 
rapport  donné,  on  applique  une  des  lois  démontrées  par 
l'expérience. 

Le  pluj  ordinairement  on  s'appu.'e  sur  la  loi  des  cordes 
vibrantes.  La  hauteur  du  son  est  donnée  par  la  formule 


IV  est  le  nombre  de  vibrations  par  seconde,  /  la  longueur  en 
mètres,  g  l'accélération  de  la  pesanteur  en  mètres  par  se- 
conde (9m,  Si),  P  le  poids  tenseur  en  kilogrammes,  p  le  poids 
de  la  corde  par  mètre,  poids  évalué  en  kilogrammes.  Géné- 
ralement on  laisse  P  invariable  et  l'on  fait  varier  /.  Les  hau- 
teurs sont  alors  en  raison  inverse  de  la  longueur  utilisée.  On 
emploie  pour  cette  expérience  le  sonomètre  que  je  n'ai  pas 
à  décrire   ici.   Il   semble  qu'on    pourrait  laisser   la   longueur 


HAUTEUR    DES    SONS.    INTERVALLES.    DÉFINITION    DU    SAVART.  9 

invariable  et  faire  varier  le  poids  tenseur;  mais  la  corde 
s'allonge  toujours  quand  P  croît,  même  si  l'on  n Li lise  des 
fils  métalliques;  le  rapport  P  \  p  n'est  pas  proportionnel  à  P. 

La  formule  n'est  rigoureuse  que  si  le  fil  n'a  pas  de  raideur 
propre  et  s'il  est  parfaitement  homogène.  La  première  con- 
dition est  toujours  à  peu  près  réalisée;  la  seconde  ne  l'est 
jamais  rigoureusement  avec  des  cordes  en  boyau,  de  si  bonne 
qualité  qu'on  les  suppose. 

Il  faut  que  les  sillets  et  le  chevalet  déterminent  aussi  cor- 
rectement que  possible  les  longueurs  utilisées. 

La  formule  des  cordes  vibrantes  permet  au  besoin  de  cal- 
culer la  hauteur  du  son  en  valeur  absolue;  les  quantités  qui 
y  entrent  sont  d'une  détermination  relativement  aisée.  Mais 
elle  est  surtout  appliquée  à  la  détermination  des  intervalles. 

Le  second  procédé,  proposé  par  Chladni,  consiste  à  utiliser 
la  loi  de  vibration  des  verges  encastrées  par  une  extrémité 
dans  un  étau.  Le  nombre  des  oscillations  est,  toutes  choses 
égales  d'ailleurs,  en  raison  inverse  du  carré  des  longueurs 
de  la  verge.  Voici  les  dimensions  que  Chladni  indique  : 
jnim  d'épaisseur  environ  et  3omm  de  largeur,  avec  une  lon- 
gueur suivant  le  son  à  obtenir.  On  peut  utiliser  soit  le  son 
le  plus  grave,  donné  par  la  verge  entière,  soit  le  son  qui  cor- 
respond à  un  nœud  intermédiaire  :  sa  hauteur  est  à  celle  du 
fondamental  comme  25  :  4- 

Chladni  se  servait  même  de  son  appareil  pour  déterminer 
les  hauteurs  absolues;  il  utilisait  d'abord  une  lame  assez 
longue  pour  qu'on  pût  directement  compter  le  nombre  des 
oscillations  par  seconde  :  il  la  raccourcissait  ensuite  de  ma- 
nière à  l'accorder  sur  le  son  à  étudier. 

On  conçoit  que  toute  loi  bien  établie  conduise  à  une  mé- 
thode de  comparaison  des  hauteurs  relatives. 

5.  Définition  des  intervalles.  — L'expérience  montre  que 
l'impression  ressentie  à  l'audition  d'un  accord  de  deux 
sons  ne  dépend  que  du  rapport  des  hauteurs  de  ces  deux 
sons.  C'est  une  loi  phvsiologique  fondamentale  dont  on  peut 
donner  bien  des  démonstrations  expérimentales. 

Il  suffit,  par  exemple,  que  le  disque  tournant  d'une  sirène 
porte  deux  rangées  de  trous.  On  entend  simultanément  deux 
sons  qui  forment  un  accord.  Cet  accord  conserve  une  qualité 


CHAPITRE   I. 


invariable,  quelle  que  soit  la  vitesse  de  rotation  du  disque, 
et  par  conséquent  la  hauteur  absolue  des  deuv  sons.  Or  le 
rapport  de  ces  hauteurs  est  indépendant  de  la  vitesse. 

La  démonstration  est  plus  simple  avec  le  sonomètre.  On 
tend  dessus  deux  cordes;  en  les  excitant  simultanément  on  ob- 
tient un  accord.  On  introduit  le  chevalet  sous  les  deuv  cordes 
de  manière  à  n'utiliser  qu'une  même  fraction  quelconque  de 
leur  longueur;  les  deux  sons  montent  dans  le  même  rap- 
port; l'expérience  montre  que  raccord  conserve  le  même 
caractère,  quelle  que  soit  la  position  du  chevalet. 

En  vertu  de  cette  loi,  on  a  été  naturellement  conduit  à 
appeler  intervalle  de  deux  sons  le  rapoort  des  hauteurs  de 
ces  sons.  Soient  N,  et  N,  les  hauteurs,  on  peut  arbitraire- 
ment dire  que  l'intervalle  est  Nj  :  N2  ou  N2  :  N,. 

6.  Mesure  des  intervalles  par  leurs  logarithmes.  — 
Soient  trois  sons  Sn  S2,  S3dont  les  hauteurs  sont  N1}  N„  N3  : 
supposons  que  l'on  ait  N,<N2<N3.  Les  musiciens  disent 
que  l'intervalle  I  de  S,  à  S3  est  la  somme  de  deux  inter- 
valles i\  de-. S,  à  S2  et  i,  de  S2  à  S,.  Or  nous  avons  par  défi- 
nition 

log  I  =  logi'i-t-  logi2. 

Pour  conserver  la  définition  des  musiciens,  nous  sommes 
donc  amenés  à  prendre  pour  mesure  d'un  intervalle  le  lo- 
garithme de  cet  intervalle.  —  Cette  convention  ne  présente 
aucune  difficulté;  nous  verrons  qu'elle  permet  de  préciser  la 
grandeur  des  intervalles  et  de  se  faire  une  idée  concrète  de 
leur  ordre  de  grandeur,  ce  qui  est  malaisé  avec  les  fractions. 

Un  intervalle  i  est  la  niiwe  partie  d'un  intervalle  I,  si  nous 

avons 

i"  =  I,         logl  =  n  logi. 

Un  intervalle  I  est  partagé  en  deux  intervalles  i,  et  i,  qui 
sont  entre  eux  comme  les  nombres  a  et  b,  si  nous  avons 

i,  =  /«,        i2  =  i**,        ii  i2  =  I  ; 

logit  =  a  logi,         logi'2=61ogi, 

1osj'i-+-  log i'2  =  logl  =  («•+-  b)  logi. 


HAUTEUR    1>ES    SONS.    INTERVALLES.    DEFINITION    DU    SAVART.        11 

D'où  enfin 

logi'i        )ogi2         logl 


a 


Les  opérations  restent  donc  conformes  au  langage  habi- 
tuel, à  la  condition  de  remplacer  les  intervalles  par  leurs 
logarithmes. 

7.  Choix  d  un  système  de  logarithmes.  Sarart.  Princi- 
paux intervalles  en  savarts.  —  Nous  sommes  libres  de 
choisir  un  svstème  quelconque  de  logarithmes.  Naturelle- 
ment notre  choix  se  porte  sur  les  logarithmes  vulgaires  dont 
chacun  possède  des  Tables.  Nous  exprimons  donc  les  in- 
tervalles par  leurs  logarithmes  vulgaires;  mais,  pour  des 
raisons  que  nous  expliquerons  plus  loin,  nous  multiplions 
ces  logarithmes  par  1000.  Ainsi  l'intervalle  2,  dont  le  loga- 
rithme vulgaire  est  o,3oio3,  a  pour  expression  3oi  ,o3  ;  nous 
énonçons  3oi  savarts,  o3  et  nous  écrivons  3oia,o3. 

L'unité  d'intervalle  ou  SAVART  est  donc  celui  dont  le  loga- 
rithme vulgaire  est  0,001. 

Nous  verrons  que  les  intervalles  inférieurs  à  un  savart  sont 
négligeables;  nous  pourrons  donc  généralement  supprimer 
la  partie  fractionnaire  des  intervalles   exprimés  en  savarts. 

Exemple.  —   Une  locomotive  passe  en  sifflant  devant  un 

observateur  immobile.  Quel  intervalle  font  les  deux  sons 

entendus,   l'un   pendant  que  la   machine  approche,    l'autre 

pendant  qu'elle  s'éloigne?  On  démontre  qu'il  est  mesuré  par 

le  rapport  (Y  -+-  u)  :  (Y  —  u),  où  Y  est  la  vitesse  actuelle  du 

son   et   u  la  vitesse  du  corps  sonore.  L'intervalle  en  savarts 

est  donc 

1000  [Iog(Y  -h  u)  —  log(Y  — ")]• 

Soit,  par  exemple. 

V  =  34om,         u  =  i6m; 

on  trouve  ï\i  savarts.  ^^^ 

"S  oici  le  Tableau  des  principaux  intervalles  que  nous  aurons 
à  considérer,  évalués  en  savarts  et  par  le  rapport  des  hau- 
teurs des  sons  qui  les  constituent. 


12  CHAPITRE   II. 

Rapport  Nombre 

Nom  de  l'intervalle.  des  hauteurs.         desavarts. 

Comma 8 1  :  80  5 

Demi-ton  mineur 25  '.  i\  18 

Demi-ton  pythagoricien  (limma). .  .  '256:243  23=<'i8-h5) 

De  mi- ton  majeur 16  :  i5  28  =  (18  -1-2.5) 

Ton  mineur 10:9  46 

Ton  majeur , 9  '.  8  5i  =  (46  -+-  5) 

Demi-ton  tempéré  (temp.  égal)....  25 

Ton  tempéré  (temp.  égal) 5o 

Il  est  à  peine  utile  de  faire  remarquer  combien  la  troi- 
sième colonne  est  plus  facile  à  retenir  que  la  seconde  et  sur- 
tout combien  mieux  elle  parle  à  l'esprit.  On  soutiendra  dif- 
ficilement qu'il  soit  possible  de  calculer  immédiatement  la 
différence  de  deux  intervalles  exprimés  sous  forme  de  frac- 
tion. Celte  différence  apparaît  immédiatement  dans  l'énoncé 
des  intervalles  en  savarls. 


CHAPITRE  II. 

ÉCHELLE    DES   SONS.    GAMME   A   TEMPÉHAMMENT    ÉGAL. 
DIAPASON   NORMAL. 

Dans  ce  Chapitre  nous  classerons  les  sons  d'une  manière 
que  nous  devons  considérer  d'abord  comme,  absolument 
arbitraire.  Le  but  de  ce  Livre  est  précisément  de  montrer 
quelles  sont  les  raisons  profondes  de  cette  classification; 
mais,  pour  la  clarté  de  l'exposition,  il  est  préférable  de  se 
familiariser  avec  l'échelle  des  sons,  et  par  conséquent  de  ne 
pas  suivre  l'ordre  qui  semblerait  strictement  logique. 

8.  Octave.  Intervalles  musicalement  équivalents.  Inter- 
valles renversés.  —  L'expérience  montre  que  deux  sons  dont 
les  hauteurs  sont  dans  le  rapport  2  :  1  ou  qui  diffèrent  de 
3oi  savarts,  ont  tant  de  ressemblance,  qu'on  peut  les  consi- 
dérer comme  une  sorte  de  répétition  l'un  de  l'autre.  Nous 
prouverons  que  l'un  est  généralement  partie  constituante  de 
l'autre,  d'où  l'affinité  si  marquée.  Ils  sont  dits  à  Voctave, 
pour  des  raisons  que  nous  verrous  plus  loin. 


H,UTi:iR    f)F.S    SONS.    INTERVALLES.    DÉFINITION    Dt    SA.VABT.        l3 

L'expérience  montre  encore  que  la  nature  d'un  intervalle 
change  musicalement  peu,  si  l'on  prend  un  des  sons  qui  le 
composent,  une  ou  plusieurs  octaves  au-dessus  ou  au-dessous. 
On  peut  donc,  sans  changer  notablement  l'effet  musical  d'un 
intervalle,  y  ajouter  ou  en  retrancher  un  nombre  quelconque 
de  fois  Soi  savarls.  On  peut  dire  encore  que  les  sons,  dont 
les  hauteurs  sont  dans  les  rapports  a,  ia,  4«,  2"  a,  for- 
ment des  accords  qui  musicalement  s'équivalent  à  peu  près. 

Cette  équivalence  n'est  pas  une  identité  absolue,  mais 
une  ressemblance  qu'il  est  bien  plus  facile  de  constater 
que  de  définir. 

Lorsque  le  son  le  plus  haut  d'un  accord  passe  au-dessous  de 
l'autre  par  des  mises  successives  aux  octaves  inférieures  (ou 
inversement),  on  dit  qu'il  v  a  renversement.  Ainsi  deux  sons 
dont  les  nombres  de  vibrations  sont  comme  2  :  3,  donnent  le 
même  intervalle  renversé,  si  le  son  3  est  baissé  d'une  octave; 

3 

les  hauteurs  sont  alors  comme  2  :  -  ou  4  '  3. 

2 

Il  résulte  des  propositions  précédentes  qu'on  peut  regarder 

tous  les  intervalles  comme  compris  dans  une  octave,  et  par 

conséquent  les  exprimer,  soit  par  des  rapports  compris  entre 

1    et   2,    soit  par  des   nombres  de  savarts  compris  entre  o 

et  Soi. 

9.  Gamme  chromatique  à  tempérament  égal.  Tons  et 
demi-tons.  Intervalles  principaux.  —  L'octave  est  divisée 
en  douze  intervalles  égaux  qu'on  appelle  demi-tons.  Voici 
les  noms  donnés  aux  sons  intermédiaires  : 

ut.  sic.  —  (  ut$,  re?)  —  ré  —  (  ré?,  mi?  )  —  mi,  fa7  — fa,  miz, 

—  {fat.  sol?)  —  sol  —  (soh.  la?)  —  la  —  {lai;,  si7) 

—  si,  ut-i  —  ut,     sic 

Sur  le  piano,  l'orgue,  l'harmonium,  les  touches  blanches, 
au  nombre  de  huit,  y  compris  l'octave  de  la  première  note, 
correspondent  aux  notes  non  placées  entre  parenthèse*;  les 
touches  noires,  au  nombre  de  cinq  par  octave,  aux  notes 
in?criles  entre  parenthèses.  Le  signe  C  se  lit  dièse,  le 
signe  y  se  lit  bémol.  L'ensemble  de  ces  douze  sons(i3  ycom- 


,^  CHAPITRE    II- 

pris  l'octave  de  la  première  note  appelée  tonique)  forme  la 
gamme  chromatique  à  tempérament  égalou  bien  tempérée. 
L'intervalle  d'octave  valant  3oi  savarls,  mais  le  savart 
étant  à  la  limite  des  intervalles  perceptibles,  chaque  inter- 
valle de  la  gamme  chromatique  à  tempérament  égal  vaut  a5ff; 
c'est  le  demi-ton  tempéré  que  nous  représentons  par  la 
lettre  t.  Pour  exprimer  que  deux  sons  font  l'intervalle  de 
demi-ton,  nous  les  séparons  par  un  seul  trait,  ut  —  ut$. 
Le  ton  bien  tempéré  vaut  5oa  :  nous  le  représentons  par  la 
la  lettre  Tel  nous  écrivons  avec  un  double  trait  ut  —  ré.  Nous 
écrivons  suivant  la  même  règle,  ut  =  ré$. 

L'octave  comprend  donc  six  tons  ou  douze  demi-tons. 
Si  nous  ne  considérons  que  les  notes  non  altérées,  c'est- 
à-dire  les  notes  nidiésées,  ni  bémolisées,  il  ne  reste  plus  que 
la  série  des  sods 

ut  =  ré  —  mi  —  fa  —  sol  =  la  =  si  —  ut, 
que  nous  apprendrons  plus  tard  à  connaître  sous  le  nom  de 
*amme  diatonique  majeure.  Cette  gamme  avec  la  tonique 
ut  correspond  aux  touches  blanches  du  piano.  On  appelle 
intervalle  diatonique,  L'intervalle  d'une  note  de  la  gamme  dia- 
tonique à  la  suivante.  Ils  sont  inégaux,  et  valent  soit  un  ton, 
soit  un  demi-ton. 

On  appelle  seconde,  tierce,  quarte,  quinte,  sixte,  septième, 
octave,  les  intervalles  entre  une  note  de  la  gamme  diato- 
nique et  la  première,  la  seconde,  la  troisième,  note  qui 

suit.  Naturellement  chacun  de  ces  intervalles  peut  avoir 
plusieurs  valeurs,  suivant  là  note  initiale  que  l'on  choisit. 
L'intervalle  est  dit  juste  ou  majeur  quand  il  est  égal  à  celui 
qui  correspond  à  la  gamme  d'ut  majeur  avec  Yut  comme  note 
initiale.  Voici  les  valeurs  des  intervalles  justes  ou  majeurs. 

Seconde.    Tierce.     Quaite.        Quinte.         Sixte.       Septième.    Octave. 
T  iT       2T-/       3T  +  *       4T-+-*       5T-4-*        6T 

L'intervalle  augmenté  est  égal  à  l'intervalle  majeur  de  même 
nom  plus  un  demi-ton.  L'intervalle  mineur  est  égal  à  l'inter- 
valle majeur  de  même  nom  moins  un  demi-ton.  La  tierce  et 
la  septième  diminuées  valent  l'intervalle  majeur  moins  un 
ton.  La  quarte,  la  quinte  et  l'octave  diminuées  valent  l'inter- 
valle majeur  moins  un  demi-ton  :  on  n'emploie  pas  ici  le 
mot  mineur. 


ECHELLE    DES   SONS.    GAMME    A    TEMPERAMENT    EGAL.  13 

Ainsi  l'intervalle  ut,  mi  est  une  tierce  majeure;  ut,  mi? 
■est  une  tierce  mineure;  vé%,  fa  est  une  tierce  diminuée.  L'in- 
tervalle ut,  sol  est  une  quinte  majeure;  si,  fa  e>t  une  quinte 
diminuée;  ut,  sofc  est  une  quinte  augmentée.  Ce  même  inter- 
valle peut  s'écrire  ut,  lay  et  devient  une  sixte  mineure. 

10.  Echelle  absolue  des  sons.  Diapason  normal.  ÉcJielle 
des  physiciens.  —  Il  n'y  a  a  priori  aucune  raison  pour 
imposer  à  une  note  de  nom  donné  un  certain  nombre  de 
vibrations.  Ce  n'est  évidemment  qu'une  affaire  de  conven- 
tion; mais  comme  il  est  nécessaire  que  les  in-truments  à 
sons  fixes  de  facteurs  différents  puissent  être  utilisés  simul- 
tanément, on  conçoit  que  la  fixation  d'un  diapason  normal 
ait  fait  l'objet  d'une  convention  internationale.  Depuis  i85g 
il  est  entendu  que  le  la  du  milieu  du  clavier,  la  normal, 
fait  435  vibrations  par  seconde. 

Ceci  posé  ou  distingue  les  différentes  octaves  par  des  in- 
dices; l'octave  1  comprend  les  sons  utt,  réu  ...,  six,  l'oc- 
tave 2  les  sons  ut2,  ré2,  ....  si*;  ainsi  de  suite. 

Le  la  normal  s'écrit  convention  /tellement  la2. 

Il  faut  signaler  ici  une  curieuse  anomalie.  Tout  le  monde 
est  d'accord  sur  la  notation  des  octaves  qui  commencent  par 
utu  utt,  ut3,  Mais  beaucoup  de  musiciens  oublient  l'oc- 
tave d'indice  o  et  passent  de  si-i  à  utv  II  n'y  a  aucune 
raison  pour  cela  et  nous  maintiendrons  la  notation  normale. 

Il  n'est  pas  difficile  de  suivre  les  variations  du  la  normal 
au  cours  des  siècles  derniers,  car  on  sait  quelles  étaient  les 
longueurs  des  tuyaux  d'orgue  et  les  notes  qu'ils  étaient 
censés  émettre.  En  1700,  par  exemple,  le  la  faisait  à  Paris 
4o5  vibrations.  Il  était  parvenu  en  Italie  vers  iS55  à  448  et  à 
Londres  à  455.  La  tendance  à  monter  s'explique  par  le  désir 
des  facteurs  d'instruments  de  cuivre,  de  donner  à  leurs  pro- 
duits une  plus  grande  sonorité. 

Cette  variation  énorme  du  la  normal,  qui  prouve  l'arbi- 
traire inhérent  à  un  tel  problème  (l'intervalle  455  :  4°5 
vaut  5  ia,  soit  un  ton)  amène  à  regretter  qu'on  n'ait  pas  choisi 
l'échelle  des  physiciens. 

Us  prennent  pour  les  différents  ut  des  puissances  exactes 
de  2;  voici  leur  échelle  absolue  : 


ut_x. 

ut0. 

utv 

utT 

utz. 

utk. 

ut.y 

ute. 

ut.. 

iG 

3a 

64 

128 

256 

5 12 

1024 

2048 

4096 

[6  CHAPITRE    II. 

Le  lal  des  physiciens  fait  427  vibrations  par  seconde. 

Le  tuvau  cylindrique  ouvert  à  embouchure  de  flû te  ayant 
pour  fondamental  le  u/_,  (16  vibrations  à  la  seconde)  a  pour 
longueur  (d'après  la  formule  N  —  V  :  2/),  (332  :  32  =  )iom,4 
environ  à  o°.  L'ancien  pied  vaut  32rm,48;  32  pieds  font  pré- 
cisément iom;4-  C'est  le  son  le  plus  grave  des  orgues. 

On  a  donc  les  concordances  suivantes  : 

Longueur  du  tuyau  ouvert  en  pieds.      32p 

Son  rendu  à  o° «'-1 

Nombre  de  vibrations 16 

La  bailleur  du  son  dépend  de  la  température,  par  le  fac- 
teur 

it  t 


i6>' 

8P 

4" 

2'1 

ut» 

///, 

ut- 

tt/a 

32 

64 

128 

256 

i/l  +a«  =  H =  1  -H  777  • 

Évaluons  les  intervalles  en  savarts  :  si  t  n'est  pas  trop  dif- 
férent de  zéro,  on  peut  développer  en  série 

log  (  1  -+-  —-)=  0,434    -    =  o<*,8.«. 
D  \         54b/  o46 

Le  son  monte  d'environ  0,8  savart  par  degré  d'élévation 
de  température  pour  tous  les  instruments  à  vent.  Il  ne  faut 
pas  oublier  ce  résultat  pour  juger  de  l'accord  possible  entre 
les  instruments  d'un  orebestre,  avant  le  coucert  et  après  que 
la  salle  s'est  échauffée.  Pendant  le  cours  d'un  morceau  la 
température  s'élève  par  exemple,  les  instruments  à  vent 
montent;  quant  aux  instruments  à  cordes,  ils  subissent  des 
variations  de  bauteur  qui  dépendent  et  de  la  température  et 
des  conditions  bygrométriques. 

11.  Écriture  des  sons.  Portées.  Clefs.  —  On  convient  de 
ne  représenter  que  les  notes  ut,  ré,  mi,  fa,  sol,  la,  si  et  les 
mêmes  notes  élevées  ou  abaissées  d'une  ou  plusieurs  octaves. 
On  se  sert  d'un  groupe  de  cinq  lignes  borizontales  nommé 
portée;  les  lignes  sont  numérotées  de  bas  en  haut;  elles  sépa- 
rent quatre  espaces  appelés  interlignes  numérotés  aussi  de 
bas  en  baut.  On  peut  ajouter  des  lignes  supplémentaires  au- 
dessus  et  au-dessous  de  la  portée;  mais,  pour  faciliter  la  lec- 
ture, elles  ne  sont  pas  continues. 

Les  notes  sont  des  signes  généralement  ovales  qu'on  place, 
soit  à  cheval  sur  une  ligne,  soit  dans  un  interligne.   Quand 


ECHELLE  DES  SONS.  GAMME  A  TEMPEBAMENT  EGAL. 


on  passe  d'une  noie  à  cheval  à  la  note  gui  se  trouve  dans 
l'interligne  au-dessus,  on  monte  d'un  intervalle  diato- 
nique. De  même,  quand  on  passe  d'une  note  écrite  dans 
un  interligne  à  la  note  à  cheval  sur  la  ligne  au-dessus. 

On  représente,  dans  cette  méthode  d'écriture,  non  pas 
les  intervalles,  mais  seulement  les  noms  des  notes.  Aussi 
a-t-on  bien  des  fois  déclaré  cette  manière  de  figurer  les  sons 
parfaitement  illogique,  et  imaginé  une  infinité  de  systèmes 
théoriquement  plus  parfaits,  mais  que  l'expérience  a  tous 
démontrés  infiniment  moins  commodes;  nous  en  dirons 
quelques  mots  plus  loin. 

Reste  à  fixer  la  position  d'une  note  choisie  arbitrairement. 
On  y  parvient  à  l'aide  d'une  clef,  signe  qui  indique  la  posi- 
tion d'une  certaine  note  et  par  conséquent  détermine  sur  la 
portée  la  position  de  toutes  les  autres. 

Voici  les  clefs  usitées  de  nos  jours  et  leurs  positions  prin- 
cipales. 

Il  y  en  a  trois;  la  plus  basse,  ou  clef  de  fa,  marque  la  posi 
tion  du  fa%  ;  la  moyenne  marquela  position  du  son  à  la  quinte 
au-dessus,  ut3\  la  troisième  marque  la  position  du  son  encore 
à  la  quinte  au-dessus,  so/3.  Ces  clefs  se  posent  sur  une  ligne 
et  jamais  dans  un  interligne;  elles  permettent  d'indiquer  sur 
quelle  ligne  est  placée  la  note  à  laquelle  elles  correspon- 
dent ('). 

Pour  ne  pas  compliquer  inutilement  la  lecture,  on  n'em- 
ploie que  cinq  positions  pour  les  clefs. 

Clef  de  fa,  quatrième  ligne  (basse,  piano  main  gauche). 

Clef  d'ut,  quatrième  ligne  (ténor). 

Clef  d'ut ,  troisième  ligne  (alto). 

Clef  d'«£,  première  ligne  (soprano). 

Clef  de  sol,  seconde  ligne  (violon,  piano  main  droite). 


(')  Les  anciens  écrivaient  les  notes 


la 


fa        sol 


Ces  notations  sont  encore  employées  en  Allemagne  et  sur  les  caisses 
d'harmonie  des  pianos.  Les  figures  des  clefs  de  fa,  d'ut  et  de  sol,  ne 
sont  que  des  altérations  au  cours  des  temps  des  trois  lettres  F,  C,  G. 

Scient ia,  n°  28.  a 


i8 


eu ai'itiii:  il. 


Mais  rien  n'empêche  de  meure  une  des  trois  clefs  sur  une 
ligne  quelconque  :  on  a  efTecliveinent  utilisé  bien  d'autres 
positions. 

Conventionnellement  la  musique  écrite  avec  une  clef  peut 
être  lue  à  une  ou  plusieurs  octaves  au-dessus  ou  au-dessous 
de  la  notation.  C'est  ainsi  que  la  partie  de  ténor  s'écrit  souvent 
en  clef  de  sol  une  octave  au-dessus  du  son  réel.  La  clef  indique 
donc  la  position,  non  plus  du  sol3,  mais  du  sol^. 

L'emploi  des  différentes  clefs  permet  de  faire  rentrer  au 
mieux  dans  les  cinq  lignes  de  la  portée  les  notes  les  plus  fré- 
quemment utilisées  par  un  instrument.  On  remarquera  qu'on 
pourrait  noter  un  air  entier  sur  la  même  ligne  en  changeant 
la  clef  à  chaque  degré.  Ces  généralités  deviendront  plus 
claires  grâce  aux.  exemples  suivants. 

La  musique  de  piano  est  écrite  pour  la  main  droite  en  clef 
de  sol  deuxième  ligne.  La  figure  i  représente  la  clef  dans 
cette  position;  le  sol3  est  à  cheval  sur  la  deuxième  ligne.  On 
a  dès  lors  toute  la  série  des  sons  représentés.  Il  n'y  a  pas  de 
limites  pour  les  sons  supérieurs;  pour  les  sons  inférieurs,  en 
multipliant  le  nombre  de  lignes,  on  risque  de  rencontrer  la 
seconde  portée  utilisée.  A  mesure  que  le  nombre  des  lignes 
supplémentaires  augmente,  la  lecture  devient  moins  facile. 

La  musique  de  piano  est  écrite  pour  la  main  gauche  en 
clef  de  fa  quatrième  ligne.  Le  /a2  est  à  cheval  sur  la  qua- 
trième ligne. 

La  figure  montre  qu'on  peut  ainsi  commodément  écrire, 


S' In 


Ie  In 


Seln 


Fig. 


Clef  de  sol  2e  liane     le  normal 
-fi 


Ti    5    _*re, 


\K)      «^     '^ 


J^&j. «i^l 


jsi,      «ui7~* 


ïôTT- 


rfsr 


wmTl      JTr 


Ie  ligne  — 


-) 


Bf» 


ÛZZjBHï 


>'a>       tli 


*h,       0Hu,     arÇT 


~yûT7 


Clef  de  (a  ff 'ligne 


3Eré,     ^ff>i| 


-<nir 


t\a,      jSôtT 


sans  ajouter  trop  de  lignes  supplémentaires,  toutes  les  notes 
du/a0  au  fah.  Le  piano  va  du  /a_,  (27")  ai;  laB  (S^So")  et 
contient  7  octaves.  Les  octaves  extrêmes  seraient  difficiles  à 
écrire  et  à  lire.  Aussi  convient-on  de  lire  une  note  à  l'octave 


ÉCHELLE  DE?  SONS.  GAMME  A  TEMPÉRAMENT  ÉGAL.       19 

upérieure,  si  elle  est  surmontée  du  signe  S"  .  .  .  ;  à  l'octave 
inférieure,  si  elle  surmonte  le  signe  Sa  .  .  . . 

La  figure  2  montre  les  positions  les  plus  usitées  de  la  clef 
d'ut. 


F\".  2. 


5.7, 


gne- 


u^ 

r^ 

-ut, 

1     l"~ 

0V\\ 

~—, 

Clef  dut  l'hgnc 


Cltfd'uti'hgne      Clef  eut  aligne 


On  peut  présenter  la  théorie  des  clefs  d'une  manière   un 

fieu   différente  et   très   simple.    Traçons    une  série   de   traits 
quidistants  {fig.  3)  en  nombre  quelconque.  Disposons   nos 


Fig.  3. 


1 

r— P -^— h SI, 

"w~ 

1 ,-B^      <j*_#.      -*        -   ' 

-*綾 

F u.  si,  ^  y»  #    *    ' 

U— — 

n  t  \.<*t  V'»'  w     1 

1 — 1 

i'  >  »  ):  »'  # 

■ 

y 

fa 


.rois  clef->,  la  clef  de  fa  sur  une  ligne  arbitraire,  les  autres 
onvenablement  par  rapport  à  cette  première,  c'est-à-dire  de 
leux  en  deux  traits  en  montant.  Appelons  portée  un  ensemble 
ie  cinq  lignes  quelconques  se  suivant  dans  le  système  général 
les  lignes  tracées.  La  théorie  des  clefs  revient  à  dire  que  nous 
mouvons  prendre  où  nous  voulons  ces  cinq  lignes  consécutives, 
1  la  seule  condition  que  Tune  des  trois  clefs  se  trouve  sur  une 
les  cinq  lignes  choisies.  La  portée  la  plus  basse  que  nous 
puissions  obtenir  est  donc  en  clef  de  fa  cinquième  ligne,  la 
portée  la  plus  haute  est  en  clef  de  sol  première  ligne.  On 
l-ernarquera  que  les  clefs  basse  et  haute  usitées  sont  très  voi- 
iines  de  celles-ci  (clef  de  fa  quatrième  ligne,  clef  de  sol 
deuxième  ligne).  Il  est  évident. que,  pour  beaucoup  de  posi- 
tions de  la  portée,  il  y  a  deux  clefs  possibles  ;  on  en  retranche 
ine  comme  inutile.  Par  exemple,  on  est  simultanément  en 
:lef  de  fa  seconde  ligne  et  en  clef  d'ut  quatrième  ligne. 

12.  Altérations.  Armures  de  clef.  Valeurs  des  notes.  — 


ÎO 


CHAPITRE    II. 


D'après  ce  système  de  notation,  on  n'écrit  que  les  notes  non 
altérées.  Lorsqu'il  se  rencontre  une  note  altérée,  on  fait 
précéder  la  note  non  altérée  d'un  des  signes  d'altération. 

Le  signe  g  dièse  la  monte  d'un  demi-ton;  le  signe  j  bémol 
la  baisse  d'un  demi -ton;  le  signe  îl  double  dièse  la  monte 
d'un  ton;  le  signe  )j  double  bémol  la  baisse  d'un  ton. 

Pour  ne  pas  avoir  à  écrire  trop  de  signes  d'altération,  on 
met  une  fois  pour  toutes  près  de  la  clef  ce  qu'on  appelle  une 
armure  de  clef  :  on  indique  une  fois  pour  toutes  les  notes 
qui  doivent  être  bémolisées  ou  diésées.  Pour  des  raisons  que 
nous  verrons  plus  loin,  les  armures  de  clef  contiennent  de  i 
à  7  dièses  dans  l'ordre  suivant  :  fa,  ut,  sol,  ré,  la,  mi,  si; 
de  1  à  7  bémols  dans  l'ordre  inverse  :  si,  mi,  la,  ré,  sol,  ut, 
fa.  Par  exemple,  s'il  n'y  a  qu'un  dièse,  c'est  un  fa;  s'il  y  en 
a  trois,  ce  sont/a,  ut,  sol.  S'il  y  a  cinq  bémols,  ce  sont  si, 
mi,  la,  ié,  sol,  et  ainsi  de  suite. 

L'armure  de  clef  posée,  si,  au  cours  du  morceau,  on  veut 

supprimer  une  altération,  on  emploie  le  signe  :J  bécarre  :  la 

note  redevient  naturelle. 

Poi-r  indiquer  la  durée  plus  ou  moins  grande  d'un  son,  on 

modifie  les  accessoires  du  cercle  ou  de  l'ovale  qui  figure  la 

note  (voir  Chap.  VIII). 

13.  Remarques  sur  la  notation  musicale.  —  La  notation 
musicale  actuelle  repose  donc  sur  l'écriture  des  noms  det 
J notes  et  non  sur  l'écriture  des  intervalles.  Deux  sons,  iden- 
tiques dans  la  gamme  bien  tempérée,  peuvent  occuper  sui 
la  portée  des  places  différentes,  par  exemple  ut  g  et  ré  b. 
Malgré  tout  son  illogisme  apparent,  la  notation  actuelle  esl 
quasi  parfaite  :  il  est  désirable  que  les  inventeurs  utilisent 
leurs  loisirs  autrement  qu'à  en  chercher  de  nouvelles. 
Du  reste,  il  y  a  bien  des  chances  pour  qu'ils  retrouvent  uns 
notation  déjà  proposée  et  déjà  repoussée. 

Les  inventeurs  malheureux  se  classent  en  deux  groupes 
Les  uns,  à  la  suite  de  J.-J.  Rousseau,  représentent  aussi  /e. 
noms  des  notes,  mais  abandonnent  les  portées  et  utilisent 
des  chiffres.  Les  7  premiers  chiffres  représentent  les  7  notes 
Un  tel  système  peut  avoir  des  avantages  dans  l'instructior 
primaire  orphéonique,  elle  n'a  que  des  inconvénients  dan; 
l'écriture  d'une  partie  un  peu  compliquée.  Le  principal  élai 


ECHELLE    DES    SONS.    GA1IS1E    A   TEMPERAMENT    EGAL.  2  1 

connu  et  admis  par  Rousseau  lui-même  :  une  lecture  rapide 
d'accords  est  impossible,  car  le  mouvement  des  sons  ne  cor- 
respond plus  à  la  pente  des  lignes  formées  sur  le  papier  par 
les  suites  de  notes. 

Les  autres  cherchent  à  représenter  les  intervalles  et  non 
plus  le  nom  des  notes.  Ils  pourraient  avoir  raison  dans  un 
autre  svstéme  musical  que  le  nôtre;  mais,  avec  nos  gammes 
diatoniques  incomplètes,  ils  rendent  l'écriture  indéchif- 
frable. 

Il  ne  faut  pas  oublier  qu'il  n'est  guère  possible  de  lire 
plus  d'une  portée  à  la  fois. 

Si  Ton  étudie  la  manière  dont  un  pianiste  suit  ses  deux 
portées,  plus  les  deux  portées  du  violon  et  du  violoncelle, 
par  exemple,  quand  il  exécute  un  trio,  on  s'aperçoit  qu'il  lit 
d'abord  un  ou  plusieurs  temps,  une  ou  plusieurs  mesures 
d'une  des  portées,  pais  un  ou  plusieurs  temps,  une  ou 
plusieurs  mesures  d'une  autre  portée,...  et  ainsi  de  suite; 
mais  qu*il  ne  lit  pas  simultanément  les  quatre  portées;  la 
mémoire  fait  le  reste.  Les  inventeurs  qui  multiplient  les  por- 
tées, écrivent  par  exemple  la  musique  de  piano  sur  trois  ou 
quatre  portées  de  trois  lignes,  ne  se  rendent  pas  compte  qu'ils 
augmentent  considérablement  le  travail  des  jeux. 

D'autre  part  le  nombre  de  cinq  lignes  par  portée  est  un 
maximum  :  il  est  impossible  sans  un  effort  considérable  de 
lire  sur  six  lignes  :  on  confond  toujours  les  lignes  moyennes. 

\k.  Limites  des  sons  perceptibles.  —  Il  semble  aisé  de 
déterminer  à  partir  de  quel  nombre  de  vibrations  l'oreille  a 
la  sensation  d'un  son  musical;  c'est  pourtant  un  problème 
complexe. 

Tout  d'abord  il  faut  utiliser  des  sons  rigoureusement 
simples.  Savart  employait  une  barre  tournant  autour  d'un 
axe  normal  à  sa  longueur  et  fixé  en  son  milieu.  A  chaque 
demi-révolution,  une  moitié  de.  la  barre  traverse  une  fente 
ménagée  dans  une  planche  dont  le  plan  passe  par  l'axe  de 
rotation.  Il  résulte  de  ces  passages  des  secousses  isolées  de  la 
masse  d'air,  très  courtes  par  rapport  à  la  période  du  phé- 
nomène qui  est  la  durée  du  demi-tour.  Les  harmoniques  sont 
par  conséquent  très  intenses,  et  les  sons,  qu'on  entend  d'après 
Savart  dès  qu'il  y  a  8  secousses  par  seconde,  correspondent 


CIIU'ITHE    II. 


aux  harmoniques  dont  la  période  est  2,  3,  4,  .  . .  fois  plus 
courte  que  la  durée  du  demi-tour.  11  est  clair  qu'une  telle 
expérience  n'a  pas  de  sens. 

De  plus  il  faut  utiliser  des  sons  très  intenses;  car  l'expé- 
rience montre  qu'à  égalité  de  travail  mécanique,  l'effet 
physiologique  croît  considérablement  quand  la  hauteur 
des  sons  croit.  Par  conséquent,  si  l'on  veut  entendre  des  sons 
très  graves,  il  faut  qu'ils  aient  une  amplitude  énorme. 

Les  grands  tuyaux  bouchés  de  l'orgue  sont  donc  les  instru- 
ments les  plus  convenables  pour  déterminer  la  limite  des  sons 
graves  perceptibles. 

L'expérience  montre  que  l'oreille  reconnaît  très  difficile- 
ment la  hauteur  des  sons  simples  dont  la  période  est  de  Tordre 
de  yô  de  seconde.  On  sait  que  le  son  le  plus  bas  du  piano  est 
le  la_{  (2-  vibrations)  et  qu'il  possède  un  caractère  musical 
très  net  :  mais  ce  son  émis  par  un  piano  est  infiniment  loin 
d'être  simple.  Au  contraire  le  ut0  (32  vibrations)  donné  pur 
un  tuyau  bouché  de  l'orgue,  donne  un  son  tremblé  auquel 
il  est  quasiment  impossible  d'assigner  une  place  déterminée 
dans  l'échelle  musicale. 

Au-dessous  du  utQ,  dans  l'octave  —  1  par  conséquent,  la 
sensation  de  secousses  isolées  s'accentue  pour  les  so/is 
simples.  A  proprement  parler,  il  n'y  a  plus  sensation  musi- 
cale, quel  que  puisse  être  d'ailleurs  l'effet  émotionnel  des 
vibrations  aériennes  agissant  comme  de  véritables  coups. 

Helmholtz  a  cherché  la  solution  du  même  problème  dans 
l'emploi  de  cordes  surchargées  en  leur  milieu  et  donnant, 
outre  le  fondamental,  des  sons  partiels  très  élevés  et  facile- 
ment discernables.  Les  résultats  sont  les  mêmes  :  la  sensa- 
tion continue  commence  vers  3o  vibrations  à  la  seconde,  la 
hauteur  musicale  déterminée  vers  4o. 

Dans  le  haut  cette  limite  est  éminemment  variable  suivant 
les  individus.  On  admet  généralement  qu'elle  est  de  l'ordre 
de  38ooo  vibrations;  le  son  correspondant  se  trouve  dans 
l'octave  10,  par  conséquent  de  3  à  4  octaves  au-dessus  de 
l'extrémité  supérieure  du  piano. 

15,  Série  des  harmoniques.  Cor.  Trompette  marine.  — 
Nous  pouvons  maintenant  dénommer  les  divers  harmoniques 
d'un  fondamental. 


ÉCHELLE  DES  SONS.  GAMME  A  TEMPÉRAMENT  ÉGAL.       23 

Soit  ut0  le  fondamental  ;  les  harmoniques  font  2,  3.  4.  .  . . ,  n 
fois  plus  de  vibrations  par  seconde. 


<o- 

utv 

solt. 

utT 

mi2. 

sol2. 

si\. 

I 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

0 

0 

176 

0 

97 

176 

243 

ré3. 

mi3. 

M- 

so/3. 

la3. 

gi\. 

Si  y 

Utt 

9 

10 

1 1 

12 

i3 

i4 

1  5 

iG 

5  i 

97 

i38 

i;6 

21 1 

243 

270 

0 

«/, 


On  trouve  inscrit  au-dessous  de  la  note  l'intervalle  avec  le 
fondamental  exprimé  en  savarts,  tous  les  sons  étant  ramenés 
dans  la  même  octale. 

Aucun  d'eux  n'est  identique  avec  les  sons  de  la  gamme 
tempérée  précédemment  définie.  Ils  sont  identiques  (les 
sons  7,  il,  i3  et  14  exceptés)  à  ceux  d'une  gamme  que  nous 
apprendrons  à  connaître  sous  le  nom  de  naturelle  et  dont 
voici  les  intervalles  : 

ut.        ré.         mi.        fa.  sol.  la.  si.  ut. 

q  5  4  3  5  1 5 

1  x  -7  ^  -  x  —  2 


4 


3  2  3  8 


I      5l      97      I2Ô      1/6     222     273     3oi 

Les  sons  7  et  J4  sont  des  si?  trop  bas  (2^0*  avec  Y  ut), 
puisque  le  siT  tempéré  fait  avec  Y  ut  un  intervalle  de  20  i  sa- 
varts; la  différence  est  près  de  2  commas.  Le  son  11  est  à 
peu  près  à  égale  distance  duy<2  tempéré  (126)  et  du/as  tem- 
péré (1  5o);  on  peut  aussi  bien  le  considérer  comme  \\w  fa%  trop 
bas  ou  comme  un  fa  trop  haut.  Le  son  i3  est  un  la  trop  bas 
de  3  commas,  plus  près  par  conséquent  d'un  la?  que  d'un  la. 

La  série  des  harmoniques  est  Y  échelle  d'un  tuyau  ouvert 
cylindrique  à  embouchure  dejlûte;  c'est  aussi  l'échelle  d'un 
tube  conique  à  anche,  par  exemple  du  cor. 

Le  cor  en  ut  est  un  loDg  tube  conique  enroulé  de  5m  environ; 
comme  un  tuyau  conique  à  anche  se  conduit  exactement 
comme  un  tuyau  cylindrique  à  embouchure  de  flûte,  il  a 
pour  fondamental  Yut0  de  32  vibrations;  son  échelle  est  donc 
justement  la  série  précédente  :  on  l'écrit  en  clef  de  sol,  une 
octave  au-dessus  du  son  réel.  Le  cor  n'émet  pas  une  gamme 


■X\  CHAPITRE    III. 

chromatique  complète;  on  en  obtient  une  en  baissant  cer- 
lains  harmoniques  par  l'introduction  plus  ou  moins  profonde 
de  la  main  dans  le  pavillon.  On  donne  ainsi  les  sons  bouchés^ 
voilés  el  incertains,  dont  le  timbre  s'oppose  à  celui  des  sons 
ouverts,  harmoniques  purs  qui  résonnent  avec  éclat. 

Le  cor  présente  au  point  de  vue  acoustique  le  grand  intérêt 
de  nous  fournir  la  série  complète  des  harmoniques. 

En  modifiant  par  des  rallonges  la  longueur  du  tube,  on 
peut  modifier  le  fondamental  el  obtenir  plusieurs  séries  har- 
moniques, nécessaires  pour  jouer  commodément  dans  tous 
les  tons. 

La  trompette  marine  est,  pour  les  instruments  à  cordes,, 
l'analogue  du  cor  pour  les  cuivres.  Elle  se  réduit  à  une  table 
d'harmonie  sur  laquelle  est  fixée  une  corde  don',  on  utilise 
toujours  la  longueur  entière;  le  doigt  ne  sert  qu'à  changer 
le  numéro  d'ordre  de  l'harmonique  utilisé.  L'instrument 
est  aujourd'hui  abandonné. 


CHAPITRE  III. 

RÉSONANCE.    THÉORIE    DE    L'OREILLE. 

Nous  exposons  dans  ce  Chapitre  la  théorie  physique  de 
l'oreille.  Il  est  important  de  fixer  le  point  de  vue  d'où  nous 
nous  plaçons.  Nous  ne  faisons  pas  de  physiologie  ;  nous 
disons  que  tout  se  passe  comme  si  l'oreille  avait  telle  con- 
stitution mécanique.  C'est  aux  physiologistes  à  chercher  le 
mécanisme  réel  :  mais,  de  ce  qu'ils  ne  le  trouvent  pas  ou  ne 
sont  pas  d'accord,  il  ne  résulte  rien  contre  nos  proposi- 
tions. Il  est  fort  inutile  d'objecter  que  les  fibres  de  Corti, 
par  exemple,  ne  peuvent  jouer  tel  ou  tel  rôle;  c'est  com- 
plètement indifférent  au  physicien.  Si  les  fibres  de  Corti 
n'interviennent  pas,  quelque  autre  organe  intervient  qu'il  n'a 
pas  à  préciser. 

Helmholtz  précise,  il  est  vrai,  parce  qu'il  est  à  la  fois  physi- 
cien et  physiologiste  :  nous  laissons  de  côté  ce  qu'il  dit.  Sé- 
parant ainsi  des  questions  très  différentes,  nous  arrivons  à 
asseoir  un  édifice  moins  grand  d'une  manière  plus  solide. 


RESONANCE.    THEORIE    DE    L  OREILLE.  23 

A  la  base  de  tous  les  raisonnements  se  trouve  la  théorie 
élémentaire  de  la  résonance. 

16.  Théorie  élémentaire  de  la  résonance.  —  Nous  suppo- 
sons qu'un  point  est  soumis  :  i°  à  une  force  élastique  qui  le 
ramène  à  sa  position  d'équilibre  et  qui  est  proportionnelle 
au  déplacement  du  point  à  partir  de  cette  position  ;  i°  à  des 
frottements  que,  pour  simplifier,  nous  admettons  proportion- 
nels à  la  vitesse;  3°  à  une  force  extérieure  sinusoïdale  en 
fonction  du  temps.  Nous  demandons  la  loi  d'oscillation  du 
point  vibrant. 

L'équation  du  mouvement  esl 

,dn       ,dd 

I  -=-;  -4-/-Ï-  +  G  6  =  Asm  tuf. 
dt1       J  dt 

I  est,  suivant  les  cas,  une  masse  ou  un  moment  d'inertie. 
C  et  A  sont,  suivant  les  cas,  une  force  ou  un  couple; 
fa,   suivant  les  cas,  les   dimensions  d'une  force  ou  d'un 
couple  multipliées  par  un  temps. 

A.  Considérons  l'équation  privée  de  second  membre.  Nous 
savons  qu'elle  admet  pour  solution 


o' 


Les  oscillations  sont  isochrones,  de  période  T'  et  décrois- 
sent en  progression  géométrique. 

Quand  le   frottement  est  nul,  /— o,  la   période  devient 

^~2"\/r'  ^e  S0D  '^'  saPPe^e  son  propre  du  corps;  le 

son  T  s'appelle,  nous  verrons  tout  à  l'heure  pourquoi,  son  de 
plus  forte  résonance. 

On  démontre  que,  si  le  frottement  reste  petit,  les  sons  T  et 
T'  diffèrent  extrêmement  peu;  la  durée  d'oscillation  est  à 
peu  près  indépendante  de  l'amortissement. 

L'amortissement  pendant  une  période  est  mesuré  par  le 
facteur  e_/I"  ou  très  approximativement  e~'J. 


itions 

6  =  80e-*'sinQ'f, 

'2.  T. 

r_2r        /       I 

>=4 
1 1 

T'' 

t/„     /*' 

•26  CHAPITRE   III. 

Soient  6,  et  6,  les  amplitudes  du  même  côté  de  la  position 
d'équilibre  pour  deux  oscillations  consécutives;  le  mobile  y 
arrive  pour  des  temps  t  et  t  -\-  T'.  On  a 

e1  ;  e,=  e,r  =  i  +  xr, 

si  l'amortissement  n'est  pas  trop  grand.  Nous  posons 

e,-ea  ==ô  =  xr==ZI'  =/Z. 

0j  al    '"   al 

Au  même  degré  d'approximation 


T  =,+  8^' 

B.  Rétablissons  maintenant  le  second  membre.  La  solu- 
tion générale  se  compose  de  deux  termes  :  d'abord  du  terme 
précédent  qui  s'annule  généralement  vite,  puis  d'un  terme 
périodique  non  amorti  qui  constitue  la  résonance.  L'équa- 
tion différentielle  est  en  effet  vérifiée  par  le  mouvement 

0  =  — 7 —  sin(w<  —  e)=  60  sin(w£  —  e),  tangE  =  ^-^ rr* 

fut  Li  —  OJ-  1 

j       17.  Discussion  de  la  solution  périodique  non  çmortie.  — 

,i     '  r  Le   mouvement  excité  a  donc   la   même  période  :  =  2^:  w 

^    ,.  \  y-que  le  son  périodique  simple  excitateur.  L'amplitude  60  du 

cw*'-   ^      mouvement  excité  est  proportionnelle,  toutes  choses  égales 

^-}         ^  *   d'ailleurs,  à  l'amplitude  de  son  excitateur.  Elle  est  maxima 


/ 


pour  sini  =  i.  On  a  alors  C  =  w2I.  La  période  t  est  alors 

égale  à  ce  que  serait  la  période  du  son  propre,  si  le  frotte- 

,^inent  était  nul.  C'est  pourquoi  le  son  T  =  2-yï  :  G  s'ap- 

'/■.*'•  pelle  son   de  plus  forte  résonance.   Posons  2  =  2t  :  T;  il 

vient 


tançE  = 


I(Q2—  w2) 


Il  existe  toujours  une  différence  de  phase  t  entre  le  son 
excitateur  et  le  son  excité;  quand  l'excitation  est  maxima, 
I>  =  w,  tang£=rcc,  £:=-;  2. 

Énergie   reçue  par  le  corps   résonant.    —    Elle  a   pour 


RESONANCE.    THEORIE    DE    L  OREILLE.  1~ 


expression 


r 


A.  s'in  iu  t . dft  =  A  0o~  sin  t. 
L'énergie  moyenne  reçue  est  donc 

A80ïîfinE        A2sin2e 

Elle  est  maxima  quand  le  son  excitateur  est  à  l'unisscndu 
son  de  plus  forte  résonance  du  corps  excité;  à  mesure  que  z 
s'éloigne  de  -  :  2,  l'énergie  reçue  décroît  rapidement. 

Appelons  W  l'énergie  transmise  pour  le  son  de  plus  forte 
résonance  0.  On  a  alors  sin2 s  =  1;  w  =  W  sin2£. 

Pour  préciser  les  discussions  qui  vont  suivre,  nous  chan- 
gerons de  variable.  Posons  a  ■=.$  \  2IQ.  La  loi  de  décroissance 
des  oscillations  du  corps  abandonné  à  lui-même  dépend  du 
facteur  e~At.  Mettons  en  évidence  le  nombre  n  d'oscillations 
effectuées;  nous  devons  poser  /  =  «T',  ou  très  approximati- 
vement t  =  nT.  Le  facteur  amortissant  devient  e~ /T-n. 

Or 

/  _  À  _  X  T  . 

*  ~~  âTÔ  —  O  ~~  ~i  ïï  ' 
d'où 

g— >.T.n  —  g— SxnCC. 

La  variable  a  peut  donc  servir  à  caractériser  l'amortisse- 
ment. 

Introduisons  l'intervalle  î  entre  le  son  -.  et  le  son  T; 
i=z<jj  '.  Q.  On  peut  écrire 

/  %  a  a  l  / l 

<i)  tansî=  =  =2*       ■:  — 1 

1  —  t2  \  1 

Au  signe  près  on  a  le  même  t  que  l'on  prenne  i  =  w  ;  il  ou 
i  — Q  :  tu.  La  valeur  de  sin2s  n'est  donc  pas  modifiée. 

18.  Relation  entre  l'amortissenent  et  le  champ  de  réso- 
nance. 

Premier  problème.  —  On  se  donne  un  corps  caractérisé 
par  un  certain  a.  Ou  fait  varier  l'intervalle  i;  on  demande 
comment  varie  le  rapport  p  =  w  :  W  =  sin- 1.  L'équation  (1) 
permet  de  calculer  1  et  par  conséquent  sin2 s  en  fonction  de  i. 

On  obtient  ainsi  un  faisceau  de  courbes  (s  en  ordonnées, 


78  CHAPITRE    III. 

i  en  abscisses)  qui  admettent  les  valeurs  de  a  comme  cotes. 
Elles  sont  en  forme  de  cloche,  présentent  un  maximum  pour 
1  =  1  (unisson,  p  =  i);  les  deux  branches  tendent  vers  Taxe 
des  i  asymptoliquement,  quand  i  tend  vers  co  ou  tend  vers 
zéro. 

Plus  a  est  petit,  plus  la  courbe  se  rapproche  rapidement  de 
l'axe  des  /;  si  a  est  extrêmement  petit,  si  par  conséquent  il 
s'agit  d'un  corps  ayant  un  amortissement  négligeable,  p  passe 
brusquement  de  la  valeur  i  (  pour  i  =  I  )  à  la  valeur  o,  pour 
peu  que  i  diffère  de  l'unité  en  plus  ou  en  moins.  Le  corps  ne 
résonne  donc  que  sous  l'influence  d'un  son  à  l'unisson  :  le 
champ  de  résonance  est  nul. 

Au  contraire,  si  *  est  grand,  la  courbe  descend  lentement 
vers  Taxe  des  i.  Le  champ  de  résonance  est  grand.  Assuré- 
ment, à  cause  du  grand  amortissement,  l'amplitude  de  la  vibra- 
tion d'influence  n'est  pas  très  grande,  même  pour  t  =  T; 
toutefois  le  son  excitateur  peut  différer  notablement  du  son 
propre  du  corps,  sans  que  cette  amplitude  devienne  une  frac- 
tion très  petite  de  sa  valeur  maxima. 

Si  l'amortissement  est  petit,  l'amplitude  maxima  est 
énorme,  mais  la  moindre  variation  du  son  excitateur  la  ra- 
mène à  o. 

Second  problème.  —  Il  n'est  en  somme  qu'une  autre 
manière  de  présenter  les  remarques  précédentes  :  je  choisis 
l'exemple  numérique  d'Helmhollz. 

C'est  maintenant  p=  w  \  W  qu'on  maintient  constant;  on 
se  propose  de  calculer  la  relation  entre  a  et  i  sous  une  forme 
concrète. 

Supposons  les  conditions  telles  que  l'énergie  w  transmise 
au  corps  excité  soit  le  dixième  de  l'énergie  W  qui  serait  trans- 
mise si  la  résonance  était  maxima.  11  faut  poser  sin2e  =  o,i; 
d'où    tangs  =  i  :  3.    La    condition    à    satisfaire    est    donc    : 

i  —  i1  ■=.  6a i ,  6 a  =  -  —  i. 
i 

■  8        T.        • 

Soit,  par  exemple,  l'intervalle  i  d  un  ton  :  i  =  -•  II  vient 

a=  17  •  432,  À  T  =  0,247. 

Ceci  posé,  cherchons  après  quel  nombre  d'oscillations  l'in- 
tensité du  son  du  corps  abandonné  à  lui-même  est  réduite 


RESONANCE.    THEORIE    DE    l'oREILLEv-  29 

au  1  ;  10  de  sa  valeur.  Les  intensités  étant  proportionnelles 
aux  carrés  des  amplitudes,  le  facteur  d'amortissement  est 
e-;r.na  î\Tous  devons  poser  :  e;~"a  =  io,  4~'<a  — 2,3o2. 
D'où  n  =4)~3-  Nous  pouvons  recommencer  les  calculs  pour 
^a  même  hypothèse  p  =  o,i  et  toute  une  série  de  valeurs 
de  i.  Voici  le  tableau  d'Helmholtz. 

Nombre  n 

de  vibrations 

au  bout  desquelles 

l'intensité 
du  son  est  réduite 
Intervalles  i.  au  I  :  10. 

j  ion 38, 00 

X  ton 1 9 ,  00 

|  ton 9,5o 

f  ton 6,33 

1  ton 4,75 

{ton 3, 80 

f  ton 3.17 

l'on 2,7' 

2  tons 2.37 

La  résonance  est  maxima  pour  i=\.  Admettons  déter- 
miné par  un  procédé  quelconque  au  bout  de  combien  d'oscil- 
lations l'intensité  du  son  d'un  corps  abandonné  à  lui-même 
tombe  au  dixième  de  sa  valeur.  D'après  ce  qui  précède,  nous 
saurons  calculer  pour  quel  intervalle,  entre  le  son  excité  et  le 
son  propre  du  corps,  l'énergie  communiquée  au  corps  n'est 
que  le  dixième  de  l'énergie  communiquée  ma\ima  qui  cor- 
respond à  l'unisson. 

Ces  bases  mécaniques  posées,  voici  les  raisonnements 
d'Helmholtz,  qui  forment  un  des  plus  beaux  enchaînements 
logiques  qu'on  puisse  imaginer.  Je  les  systématise  seulement 
pour  mieux  les  faire  comprendre. 

11  est  bien  évident  d'abord,  en  vertu  de  la  forme  linéaire  de 
'l'équation  que  nous  admettons,  c'est-à-dire  en  vertu  du 
principe  des  petits  mouvements  (dont  nous  di.-cuterons  plus 
loin  la  légitimité),  qu'un  son  complexe  excite  toutes  les 
vibrations  simples  en  lesquelles  on  peut  le  décomposer,  avec 
des  intensités  que  les  équations  précédentes  permettent  de 
calculer. 

19.    Proposition.     L'oreille    ne    vibre  pa*    uniquement 


3o  CHAPITRE  111. 


a  mi  me  un  système  entier  pour  tous  les  sons.  Il  doit  y 
exister  des  parties  gui  sont  mises  en  vibration  par  les  sons 
de  hauteurs  différentes  et  qui  donnent  les  sensations  de 
ces  sons. 

Le  raisonnement  s'appuie  sur  ia  netteté  avec  laquelle  les 
trilles  sont  perçus  par  l'oreille. 

Supposons  que,  sous  l'influence  d'un  son  quelconque, 
l'oreille  entre  tout  entière  en  vibration;  il  faut  admettre  un 
champ  de  résonance  extrêmement  étendu  et  conséquemment 
un  amortissement  énorme.  Sitôt  le  son  excitateur  supprimé, 
il  ne  reste  plus  que  la  vibration  propre  du  corps  excité  (ici 
l'oreille  vibrant  en  entier  par  hypothèse).  D'où  trois  conclu- 
sions :  i°  on  entendrait  comme  queue  d'un  son  quelconque, 
un  son  toujours  le  même,  le  son  propre  de  l'oreille;  2°  les 
trilles  seraient  aussi  nets  dans  le  haut  que  dans  le  bas  de 
l'échelle;  3°  les  trilles  les  plus  rapides  seraient  perçus  par- 
faitement distincts,  vu  la  grandeur  de  l'amortissement. 

Or  il  n'en  est  pas  ainsi. 

i°  Nous  ne  percevons,  il  est  vrai,  aucun  son  propre  de 
l'oreille;  donc  l'oreille  vibrant  en  entier,  à  supposer  quelle 
vibre,  a  un  amortissement  quasiment  infini;  2°  cependant 
les  trilles  dans  le  grave  deviennent  indistincts  s'ils  sont 
rapides,  bien  plus  facilement  que  dans  le  haut  de  l'échelle; 
ce  qui  prouve  que  différents  amortissements  interviennent; 
3°  enfin  l'amortissement  des  parties  qui  vibrent  sous  l'in- 
fluence d'un  son  donné  n'est  pas  infini,  puisqu'un  trille  de 
io  notes  à  la  seconde  n'est  plus  net  dans  le  grave. 

Il  est  certain  que  le  tympan  et  l'appareil  moyen  de  l'oreille, 
dont  le  rôle  est  de  transmettre  les  sons,  vibrent  sous  l'in- 
fluence de  tous  les  sons  perceptibles;  donc  leur  amortis- 
sement doit  être  énorme  :  ils  ne  peuvent  pas  intervenir  dans 
l'impossibilité  d'entendre  distinctement  des  trilles  rapides. 
Donc  il  existe,  outre  ces  portions  de  l'oreille,  d'autres  por- 
tions pourlesquelles  le  son  se  maintient  plus  longtemps,  dont 
l'amortissement  est  plus  petit,  et  dont  par  conséquent  le 
champ  de  résonance  est  moins  étendu  :  ces  parties  sont 
mises  en  vibration  par  des  sons  de  hauteurs  différentes. 

Le  raisonnement  est  corroboré  par  les  différences  de  per- 
ception des  trilles  dans  le  grave  et  dans  l'aigu. 

Mais  il  faut  bien  comprendre  ce  qu'on  entend  en  disant 


RÉSONANCE.   THÉORIE    DE    l'oREILLE.         ,'  3l 

que  chaque  partie  de  l'oreille  vibre  sous  l'influence  d'un  son 
déterminé.  Cela  veut  dire  que  le  mouvement  communiqué 
est  plus  fort  pour  ce  son-là,  mais  que  les  sons  voisins  agis- 
sent à  un  degré  moindre.  Helmholtz  croit  pouvoir  admettre 
comme  ordre  de  grandeur  que,  pour  une  différence  d'un 
demi-ton  entre  le  son  excitateur  et  le  son  de  plus  forte  réso- 
nance d'une  de  ces  parties,  la  vibration  par  influence  est 
encore  appréciable. 

Nous  voici  loin  de  la  comparaison  si  souvent  invoquée  dans 
les  ouvrages  de  vulgarisation  entre  l'oreille  et  un  piano.  Vu 
le  très  faible  amortissement  d'une  corde  tendue,  elle  ne 
résonne  que  pour  un  son  très  voisin  du  son  qu'elle  rend  elle- 
même.  Au  contraire,  sous  l'influence  d'un  son  simple  de 
hauteur  donnée,  de  nombreuses  parties  mobiles  de  l'oreille,. 
quelles  qu'elles  soient  physio logiquement  parlant,  entrent 
en  vibration  :  l'une  avec  une  intensité  maxima,  les  voisines 
avec  des  intensités  décroissantes.  C'est  à  l'ensemble  de  ces 
mouvements  que  correspond  la  sensation  d'un  son  simple. 
Encore  une  fois,  peu  importe  qu'il  faille  voir  ces  organes 
différents  dans  les  fibres  de  Corti  ou  dans  d'autres  groupes  de 
cellules;  mécaniquement  tout  se  passe  comme  s'il  existait  des 
parties  mobiles  jouissant  des  propriétés  ci-dessus  indiquées. 
Voici  comment  Helmholtz  cherche  à  fixer  l'amortissement 
des  parties  mobiles  de  l'oreille. 

Si  l'on  exécute  sur  le  la%  (i  10  vibrations)  un  trille  de  10  notes 
à  la  seconde,  le  même  son  revient  tous  les  \  de  seconde»  Sû- 
rement le  trille  ne  serait  pas  net,  si  l'intensité  du  son  n'était 
pas  réduite  au  ^  de  sa  valeur  après \  de  seconde,  soit  22  vibra- 
tions. Il  résulte  de  là  que  l'amortissement  ne  correspond  pas 
au  premier  degré  du  tableau  du  §  18  :  il  est  plus  grand.  Il 
correspond  soit  au  second,  soit  au  troisième.  Mais,  d'autre 
part,  un  trille  beaucoup  plus  rapide  ne  serait  pas  net.  Donc 
l'amortissement  n'est  pas  énormément  plus  grand.  Helm- 
holtz admet  que  la  faculté  d'étouflement  correspond  à  peu 
près  au  troisième  degré  du  Tableau.  C'est-à-dire  qu'après 
10  vibrations,  l'intensité  du  son  propre  est  réduite  au  -rVdela 
valeur  initiale.  D'où  la  conclusion  énoncée  ci-dessus  pour  les 
intervalles. 

1    -    20.  Loi  d'Ohm.  L'oreille  n'a  la  sensation  d'un  son  simple 


32  CHAPITRE    III.    ' 

que  lorsqu'elle  est  excitée  par  une  vibration  pendulaire. 
Elle  décompose  tout  autre  mouvement  périodique  en  une 
série  de  vibrations  pendulaires  {termes  de  la  série  de  Fou- 
rier)  qui  correspondent  chacune  à  la  sensation  d'un  son 
simple. 

Il  faut  insister  sur  le  sens  de  cette  loi.  On  frappe  une  corde 
de  piano,  nous  disons  entendre  un  son  :  la  loi  prétend  au 
contraire  que  nous  entendons  un  véritable  accord,  composé 
de  tous  les  harmoniques  simultanément  émis  par  la  corde.  Il 
y  a  donc  là  une  sorte  de  paradoxe  qu'il  faut  expliquer. 

Tout  d'abord  il  ne  faut  pas  croire  que  les  harmoniques 
soient  faibles  parce  qu'ils  sont  difficiles  à  observer.  On  frappe 
une  corde  de  piano;  immédiatement  après  on  la  touche  légè- 
rement en  un  point  :  le  son  partiel  dont  le  nœud  a  été  touché 
conserve  seul  son  intensité,  tandis  que  les  autres  sons  partiels 
s'éteignent.  On  peut  se  convaincre,  en  isolant  par  ce  procédé 
les  premiers  harmoniques,  qu'ils  sont  d'une  intensité  consi- 
dérable. 

La  difficulté  qu'on  a  d'entendre  les  harmoniques  comme 
sons  distincts,  comme  constituants  d'un  véritable  accord,  ne 
tient  donc  pas  à  leur  faible  intensité.  Elle  provient  de  ce  que 
toute  l'éducation  de  l'oreille  est  tournée,  non  pas  vers  la  dé- 
composition des  sons,  mais  au  contraire  vers  la  perception 
simultanée  et  comme  un  ensemble,  d'un  son  et  de  ses  harmo- 
niques. Nous  cherchons,  par  exemple,  à  reconnaître  si  le  son 
entendu  provient  d'un  violon  ou  d'une  flûte;  nous  ne  nous 
attachons  pars  à  discerner,  dans  les  sons  de  même  hau- 
teur (§  1)  fournis  par  les  deux  instruments,  les  constituants 
identiques,  c'est-à-dire  les  harmoniques;  nous  envisageons 
comme  un  tout  chacun  des  deux  sons,  cherchant  à  distinguer 
leur  origine  par  les  qualités  de  ce  tout,  c'est-à-dire  par  le 

timbre. 

Un  grand  nombre  de  circonstances  facilitent  d'une  part  la 
distinction  des  sons  émis  par  des  sources  différentes  et  d'autre 
part  la  fusion  en  un  son  unique  des  sons  partiels  émis  par 
une  même  source.  Le  mode  d'attaque,  de  renforcement,  la 
sûreté  de  la  tenue,  l'inégale  durée,  la  manière  de  s'éteindre, 
qui  sont  des  données  caractéristiques  des  sons  de  deux  sources 
différentes,  sont  au  contraire  à  peu  près  identiques  pour  les 
sons  partiels  d'un  son  unique.  Les  sons  du  piano  se  produi- 


RÉSONANCE.    THEORIE    DE    L'OREILLE.  33 

sent  brusquement  par  percussion  et  diminuent  rapidement: 
ceux  des  instruments  de  cuivre  se  posent  difficilement  et 
sont  tenus  sans  effort;  ceux  des  instruments  à  cordes  pré- 
sentent des  raclements  caractéristiques —  et  ainsi  de  suite. 
Toutes  ces  particularités  nous  aident  à  les  distinguer;  elles 
ne  sont  d'aucun  secours  pour  la  séparation  des  harmoniques. 

Aussi  pour  apprendre  à  distinguer,  les  sons  partiels  doit-on 
recourir  à  des  moyens  auxiliaires.  Le  plus  simple  consiste  à 
renforcer  l'un  d'eux  par  un  résonateur  approprié,  à  porter 
son  attention  dessus,  puis  à  éloigner  le  résonateur  de  l'oreille. 
On  continue  à  le  percevoir  distinctement. 

//  n'y  a  aucune  relation  entre  la  justesse  d'une  oreille 
et  son  aptitude  à  entendre  isolément  les  harmoniques  : 
c'est  une  affaire  d'habitude  et  d'exercice.  Les  harmoniques 
existent  donc  bien  dans  la  sensation,  bien  que  n'arrivant  pas 
toujours  à  une  perception  consciente;  on  peut  acquérir  cette 
perception  sans  autre  secours  qu'une  direction  régulière 
imprimée  à  l'attention. 

21.  Remarques  sur  la  loi  d'Ohm.  —  Tant  qu'on  n'eut 
pas  découvert  le  rôle  absolument  fondamental  des  sons 
simples  ou  pendulaires,  la  théorie  des  cordes  ou  des  tuvaux 
fut  une  pure  énigme.  Aussi  donna-t-elle  lieu  au  xvme  siècle 
à  des  discussions  inextricables  entre  Bernoulli,  Lagrange, 
Luler.  d'Alembert,  qui  avouaient  tous,  en  définitive,  n'y 
rien  comprendre. 

«<  Ayant  examiné  avec  toute  l'attention  dont  je  suis  capable, 
écrit  Lagrange  (T.  I,  p.  147  de  ses  OEuvres  complètes),  les 
oscillations  des  cordes  tendues,  je  les  ai  toujours  trouvées 
simples  et  uniques  dans  toute  leur  étendue,  d'où  il  me 
paraît  impossible  de  concevoir  comment  divers  sons  peuvent 
être  engendrés  à  la  fois.  »  Et  cependant  le  fait  était  incon- 
te=té,  qu'une  corde  frappée  n'importe  comment  donne,  sauf 
très  rares  exceptions,  des  harmoniques. 

Mais  Lagrange  appelle  simple  et  unique  une  oscillation 
que  nous  appelons  complexe,  parce  que  la  corde  n'a  pas  la 
forme  sinusoïdale. 

Bernoulli  approchait  de  très  près  la  solution.  Il  prétendait 
que  la  vibration  d'une  corde  est  un  mélange  de  plusieurs 
vibrations  partielles  sinusoïdales.  Mais,  au  lieu  de  considérer 
Scientia,  n*  28.  3 


34  CHAPITRE    III. 

celle  décomposition  comme  une  pure  identité  algébrique, 
il  prétendait  qu'il  faut  distinguer  dans  une  corde  différents 
points  qui  sont  comme  des  espèces  de  nœuds  ou  de  points 
fixes,  autour  desquels  oscille  la  partie  de  la  corde  comprise 
entre  deux  de  ces  points  voisins.  Les  nœuds  font  eux-mêmes 
des  vibrations  par  rapport  aux  extrémités  vraiment  fixes  de 
la  corde.  Ces  hypothèses  compliquées  (qu'on  retrouve  encore 
dans  certains  livres  d'enseignement  secondaire)  étaient  abso- 
lument inutiles,  bien  qu'elles  fussent  en  toute  rigueur  une 
manière  correcte  de  représenter  le  phénomène. 

En  définitive  il  manquait  aux  géomètres  et  aux  physiciens 
de  savoir  :  i°  qu'une  fonction  quelconque  périodique  peut 
toujours  être  représentée  par  une  somme  de  sinus  eu  de  co- 
sinus avec  des  différences  de  phase;  ou,  ce  qui  revient  au 
même,  qu'un  son  périodique  peut  toujours  être  représenté 
par  la  série  des  harmoniques  avec  des  intensités  et  des  déca- 
lages convenables  (Euler  et  d'Alembert  déclarent  explicite- 
ment que  c'est  impossible)  ;  2°  que  l'oreille  ne  perçoit  comme 
simples  que  les  termes  de  cette  série,  et  décompose  en  sons 
partiels  un  ébranlement  périodique  quelconque,  si  continu 
qu'il  puisse  être  (nous  avons  vu  que  Lagrange  énonce  le 
contraire);  3°  que  corrélativement  une  corde  peut  parfaite- 
ment ne  faire  entendre  que  le  fondamental,  si  sa  forme  ini- 
tiale est  convenable,  et  plus  généralement  que  les  intensités 
et  les  phases  des  harmoniques  dépendent  des  conditions 
initiales. 

C'est  à  ce  dernier  point  que  se  rapporte  l'erreur  de  Rameau 
et  de  d'Alembert  qui  se  refusaient  à  admettre  l'existence  de 
sons  dépourvus  d'harmoniques,  parce  qu'ils  ne  savaient  pas 
les  obtenir.  Ils  en  arrivaient  à  déclarer  que  tout  son  est  com- 
posé; et  c'était  même  celte  complexité  qui  distinguait  pour 
eux  le  son  du  bruil.  Evidemment  l'expérience  leur  était  favo- 
rable, en  ce  sens  que  les  sons  employés  en  Musique  sont 
complexes;  mais  ils  se  trompaient  en  généralisant. 

Je  reparlerai  plus  loin  de  la  théorie  de  Rameau. 

22.  Etude  objective  des  battements.  —  L'étude  de  l'audi- 
tion des  battements  complète  la  connaissance  des  propriétés 
mécaniques  de  l'oreille.  Je  rappelle  brièvement  leur  théorie. 

Soient  deux  mouvements  dont  les  périodes  sont  voisines. 


RESONANCE.    THEORIE    DE    LOItEILLE.  35 

Soient  n  +  -  le  nombre  des  vibrations  de  l'un,   n  —  -  le 

2  2 

nombre  des  vibrations  de  l'autre.  Par  hypothèse  ils  peuvent 
exister  simultanément  suivant  le  principe  des  petits  mou- 
vements; ils  fournissent  donc  un  mouvement  résultant 


R 


A  sin2-/  n  —  -  \  l^-B  sini-  (  n  —  -  \  t  =  C  sindr.nt  —  y). 

Identifiant  les  deux  membres,  il  vient  comme  conditions 
Cs  =  A2^  B2+  2AB  cos2-/£, 

A  — B 

tan  g  y  = tansrrv/. 

A  -+-  H 

Nous  pouvons  donc  considérer  le  mouvement  résultant 
comme  une  vibration  pendulaire  d'intensité  variable  C2,  dont 
Ja  hauteur  n  est  égale  à  la  hauteur  moyenne  des  deux  sons 
et  dont  la  phase  y  est  elle-même  variable. 

Le  nombre  des  maxima  d'intensités  est  égal  à  v  par  se- 
conde, c'est-à-dire  la  différence  des  hauteurs  des  deux  sons. 

Comme  la  phase  y  est  variable,  la  hauteur  du  son  résul- 
tant est  elle-même  variable.  A  chaque  instant  nous  pouvons 
dire  que  la  hauteur  N  de  ce  son  est 

\  _  l    d-{ 

~  2-  dt' 

Gela  revient  à  poser  pendant  un  petit  intervalle  Y  =  y0  +  ïi  *i 
où  v0  et  Yi  sont  des  constantes,  et  à  écrire  le  son  résultant 

sont,  la  forme  C  sin  i~  (  n  H — 

V  2 

Evaluons  la  hauteur  X. 

v  A2  —  B2 


N  = 


2    A--T-  B2-r-  2AB  C0S2TTV/' 

N  varie  donc  entre  des  limites  qui  correspondent  à 

COS2  7TV  t  =  ±  1, 

c'est-à-dire  aux  instants  où  l'intensité  C2  a  elle-même  ses  va- 
leurs maxima  et  minima. 
i°  Au  maximum  d'intensité 

v  A  -  B 

ft  =  nn — -• 

2  A-t-B 


?6  CHAPITRE   III. 

U  hauteur  esl  intermédiaire  entre  celles  des s  primaires 

e|  se ^proche  de  la  hauteur  du  son  le  plus  Tort,  d'autant 
pllls  que  riutensité  de  celui-ci  l'emporte  davantage. 

20  Au  minimum  d'intensité 

N  =  »- 

,,,   I leur  eu    .«péri.»,  à  celle   du  son  le  plus  fort,  si 

calait  est  plus  haut  que  l'.otre;  elle  en  .nfeneure,  s.  I. 

sou  le  plus  fort  est  aussi  le  plus  grave 

L'expérience  confirme  la  théorie.  S,  l'on  écoute  les  bat  e- 
,„,„„  lents  de  deux  tuyaux  bouchés  (pour  »M»-<^£ 
harmoniques  ).  on  entend  uue  vanation  de  hauteurs.  La  me.l 

ZZîJi*  ,-ur  reconnaître  le  phénomène  cons.ste  a 
affaiblir  tantôt  le  son  le  plus  haut,  tantôt  le  son  le  pins  bas. 

23.  Emploi  des  battements.  Méthode  de  Sauveur  pour 
la  mesure  de  la  hauteur  absolue  des  sons.  -  Les  batte- 
Le  tnt  utilises  pour  accorder  des  sons  à  l'un.sson;  nous 
«rr ons  plus  loin  que,  grâce  à  l'existence  des  b™^; 
ils  permettent  aussi  l'obtention  facile  de  quekp.es  ..te.  malles 
très  différents  de  l'unisson. 

Sauve  r  a  cherché  à  les  utiliser  pour  délerm.ner  a  hauteur 
J2,  d'un  son;  il  publia  vers  t-oo  une  méthode  qu,  mé- 
rite d'être  rappelée  malgré  son  peu  d  exacltlude. 

Lient  N  n  N,  les  hauteurs  de  deux  sons.  L'un  es  fixe, 
laSu  est  ar  abîe.  Faisons  en  sorte  qu'ils  fassent  un  ..ter- 
nie  facilement   reconnaissable.   Nous    aurons  h    prem.ere 


relation 


N,  :Nâ=I. 


Déterminons  le   nombre  A  des  battements   par  seconde; 
nous  aurons  une  nouvelle  relation  :  N,  -  N=  A.  D 

**=— l'  Nî-I-I 

I  a  mesure  en  valeur  absolue  de  N,  et  N,  revient  à  déter- 
miner avec  assez  d'exactitude  l'intervalle  1  et  le  nombre  A 
^ttements  par  seconde.  Mais  ^-.vaUe  l^tre  = 
de  r  unité  etVoreille  reconnaît  mal  ces  intervalles,  bauveur 
tourne  la  difficulté  d'une  manière  fort  ingénieuse. 


RÉSONANCE.    THÉORIE    DE    L'OKEILLE.     '  37 

Il  accorde  quatre  tuyaux;  deux  donnent  la  quinte  ut,  sol; 
avec  l'un  des  deux  autres  et  les  deux  premiers,  il  fait  l'accord 
parfait  majeur  ut,  mi,  sol;  avec  L'autre  l'accord  parfait  mi- 
neur ut,  miïp,  sol.  L'oreille  reconnaît  avec  une  facilité  rela- 
tive la  justesse  de  ces  accords.  Sauveur  admet  comme  résultat 
d'expériences  effectuées  avec  le  sonomètre  que  la  tierce  mi- 
neure vaut  G  :  5  et  la  tierce  majeure  5  :  \.    _^--— 

Donc  l'intervalle  mf,  mi  vaut  20  ;  i\;  il  est  déterminé 
par  cette  voie  indirecte  d'une  manière  plus  précise.  Les  for- 
mules deviennent 

Nj  =  25  A.  N*=  24  A. 

Il  mesure  A  en  ajustant  un  pendule  simple  (fil  soutenant 
une  balle)  de  manière  qu'il  y  ait  exactement  un  nombre 
entier  A  de  battements  dans  une  oscillation.  Il  détermine 
ensuite  aisément  la  période  d'oscillation  du  pendule. 

Cette  méthode  est  médiocre,  car  la  détermination  d'un 
intervalle  par  l'oreille  est  toujours  sujette  à  incertitude.  Elle 
est  cependant  extrêmement  remarquable  pour  une  époque 
où  la  théorie  des  tuyaux  et  des  cordes  n'existait  pas.  Sau- 
veur rapportait  toutes  les  notes  au  son  fixe  faisant  100  vi- 
brations par  seconde. 

2i.  Mécanisme  de  l'audition  des  battements.  —  Cher- 
chons les  conséquences  qui  résultent  de  l'audition  des  batte- 
ments. 

Si  les  parties  mobiles  de  l'oreille  ne  pouvaient  respecti- 
vement entrer  en  vibration  que  pour  un  son  unique,  si  la 
résonance  devenait  nulle  dès  qu'il  existe  le  plus  petit  inter- 
valle entre  le  son  excitateur  et  le  son  de  plus  forte  résonance 
de  la  partie  mobile  considérée,  on  ne  pourrait  pas  entendre 
de  battements,  puisque  leur  audition  suppose  essentielle- 
ment une  interférence,  c'est-à-dire  une  action  commune 
sur  un  organe  de  sensation. 

Mais  nous  savons  qu'il  doit  exister  dans  l'oreille  un  système 
mécaniquement  comparable  à  un  ensemble  de  parties  mo- 
biles (résonateurs  auriculaires)  dont  chacune  est  exacte- 
ment accordée  sur  un  son  d'une  échelle  discontinue  (comme 
les  cordes  d'un  piano),  mais  peut  cependant  vibre:,  avec 
une  résonance,  il  est  vrai,  rapidement  décroissante,   sous 


38  CHAPITRE    III. 

l'influence  de  sons  faisant  avec  le  son  de  plus  forte  réso- 
nance un  intervalle  relativement  grand.  Nous  avons  admis 
nour  préciser  les  idées  que  l'intensité  de  la  résonance  est  di- 
minuée au  dixième  de  sa  valeur  maxima,  quand  l'intervalle 
est  d'un  demi-ton. 

Étudions  tout  ce  qu'explique  un  tel  mécanisme. 
Il  explique  d'abord  comment,  avec  une  série  discontinue 
de  résonateurs,  on  peut  cependant  percevoir  une  sensation 
continue,  quand  le  son  monte  d'une  manière  continue.  Si 
seul  un  des  résonateurs  entrait  en  vibrations  sous  l'influence 
du  son  simple  à  l'unisson  du  son  de  plus  forte  résonance,  la 
sensation  se  modifierait  par  soubresauts,  quand  le  son  exci- 
tateur monte  d'une  manière  continue. 

Pour  que  deux  sons  simples  de  hauteurs  peu  différentes 
soient  distincts,  il  n'est  pas  nécessaire  que  leur  intervalle 
soit  égal  à  ou  plus  grand  que  l'intervalle  de  deux  résona- 
teurs voisins  de  l'oreille;  la  faculté  de  les  distinguer  dépend 
seulement  de  la  délicatesse  avec  laquelle  on  peut  comparer 
les  excitations  de  ces  deux  résonateurs. 

Ce  mécanisme  explique  enfin  remarquablement  la  possibi- 
lité d'audition  des  battements.  Il  est  d'abord  évident  que  les 
battements  ne  peuvent  être  perçus  que  s'ils  proviennent  de 
deux  sons  assez  voisins  pour  faire  vibrer  tous  deux  simulta- 
nément un  ou  plusieurs  résonateurs  auriculaires.  Donc  la 
netteté  des  battements  doit  dépendre  non  seulement  de  leur 
nombre  par  seconde,  mais  encore  de  l'intervalle  des  deux 
sons  qui  les  produisent. 

Si  la  netteté  des  battements  ne  dépendait  que  de  leur 
nombre,  elle  devrait  être  la  même  pour  le  demi-ton  si3  ut,,, 
le  ton  utz  ré3,  la  tierce  mineure  /m'2  soL,  la  tierce  majeure 
uti  mu,  la  quarte  solx  utt,  la  quinte  utx  solu  intervalles  qui 
fournissent  32  battements  par  seconde.  L'expérience  montre 
cependant  qu'à  mesure  que  l'intervalle  augmente  le  roule- 
ment formé  par  ces  battements  rapides  devient  de  moins  en 
moins  distinct. 

Pour  préciser  les  idées,  reprenons  l'hypothèse  que,  pour 
un  intervalle  d'un  demi-ton,  la  résonance  des  résonateurs 
auriculaires  est  réduite  à -^.  Pour  une  différence  d'un  ton 
entre  les  sons  qui  battent,  ut*  ré,  par  exemple,  le  résonateur 
moyen  qui  correspond  à  «/-  doit  résonner  avec  ^  de  l'inten- 


RÉSONANCE.    THÉORIE    DE    L'OREILLE.     "  3g 

si  té  des  résonateurs  à  l'unisson.  Admettons  pour  simplifier 
que  les  sons  primaires  ont  même  amplitude  (A  —  B),  l'in- 
tensité du  mouvement  du  résonateur  moyen  varie  de  o  à  !\  A2, 
et  par  conséquent  dans  notre  hypothèse  de  o  à  o,4-  Si  nous 
émettons  au  contraire  les  deux,  sons  si2  utz,  le  résonateur 
intermédiaire  résonne  bien  mieux,  l'intervalle  entre  chacun 
des  sons  primaires  et  le  son  déplus  forte  résonance  du  réso- 
nateur moyen  n'étant  plus  que  d'un  quart  de  ton.  On  trouve 
que  l'intensité  de  sa  vibration  passe  de  o  à  1,2.  On  montre 
de  même  que,  pour  le  résonateur  moyen,  l'intensité  passe 
de  o  à  o,ig4  pour  une  tierce  mineuxe^-à-Cyi-oS  pour  une  tierce 
majeure.  Enfin,  pour  des  intervalles  plus  grands,  les  batte- 
ments ne  sont  pas  perceptibles,  non  pas  parce  qu'ils  sont 
trop  nombreux,  mais  parce  que  les  sons  primaires  sont  inca- 
pables d'exciter  tous  deux  les  mêmes  résonateurs  auricu- 
laires. 

25.  Sensation  produite  par  des  battements  rapides.  — 
Que  devient  la  sensation,  lorsque  les  battements  se  succè- 
dent de  plus  en  plus  rapprochés? 

Tout  d'abord  l'expérience  nous  apprend  qu'on  peut  en- 
tendre d'une  manière  nette  plus  de  3o  battements  à  la 
seconde.  Donc  la  sensation  de  battement  rapide  ne  se 
transforme  pas  en  la  sensation  de  son  musical.  S'il  en 
était  ainsi,  on  ne  devrait  pas  percevoir  un  roulement,  mais 
entendre  un  son  grave  qui  correspondrait,  dans  le  cas  parti- 
culier, aux  sons  les  plus  graves  du  piano. 

L'expérience  montre  qu'en  augmentant  peu  à  peu  le 
nombre  des  battements  par  seconde,  on  .arrive  bientôt  à  ne 
plus  pouvoir  distinguer  les  différents  coups;  mais  les  sons 
interférents  deviennent  alors  roulants  et  durs. 

On  sait  combien  une  lumière  papillotante  est  désagréable 
à  l'œil,  alors  même  qu'elle  n'est  pas  très  intense.  Le  phéno- 
mène est  très  général.  On  peut  admettre  par  exemple  qu'une 
excitation  même  vive  qui  se  prolonge,  produit  un  affaiblis- 
sement de  la  sensibilité  protégeant  l'organe  contre  une  fa- 
tigue excessive.  Au  contraire,  si  l'excitation  est  intermittente, 
la  sensibilité  reprend  sa  valeur  pendant  les  pauses  :  la  fatigue 
s'exagère. 

Dans  l'hypothèse  mécanique  admise  pour  l'oreille,  les  phé- 


^o  CHAPITRE    Ml. 

nomènes  s'expliquenl  aisément.  Les  batlements  rapides  dus 

V  V  r 

aux    50ns    primaires   n  ■+■  -  et  n ne  se  transforment  pas 

1  2  1 

en  un  son  musical  de  hauteur  v,  car  ils  n'agissent  pas  sur 
les  résonateurs  qui  correspondent  à  ce  son.  Mais  ils  exci- 
tent d'une  manière  intermittente  les  résonateurs  de  hau- 
teur »  -h  -  et  n et  les  résonateurs  voisins. 

1  2 

Ils  produisent  donc  une  sensation  périodique  qui  devient 
particulièrement  désagréable,  quand  la  période  est  comprise 
entre  des  limites  que  l'expérience  doit  déterminer. 

Nous  verrons  plus  loin  l'importance  des  battements  dans 
la  théorie  des  dissonances. 

26.  Timbre  des  sons.  —  Voici  d'abord  ce  que  l'expérience 
apprend  de  plus  général  sur  les  timbres  des  principaux  ins- 
truments. 

i°Des  sons  simples  (diapasons  associés  à  des  résonateurs, 
grandstuvaux  bouchés  de  l'orgue,  flûte  avec  peu  de  vent,  etc.) 
sont  doux  mais  manquent  d'énergie;  ils  sont  sourds  dans  le 
grave. 

2°  Les  sons  contenant  les  premiers  harmoniques  moyen- 
nement intenses  sont  pleins  et  d'un  bon  emploi  musical.  Ils 
sont  plus  riches,  plus  fournis  que  les  sons  simples  (sons  du 
piano,  tuyaux  ouverts  de  l'orgue,  voix  humaine,  etc.) 

Ces  sons  sont  imités  artificiellement  dans  \esjeu.v  de  four- 
niture, qu'on  a  longtemps  considérés  comme  un  scandale. 
Chaque  touche  de  ce  registre  de  l'orgue  est  associée  à  une 
série  plus  ou  moins  grande  de  tuyaux  qu'elle  ouvre  simulta- 
nément et  qui  donnent  ainsi  le  fondamental  et  les  premiers 
harmoniques  (généralement  l'octave  et  la  douzième).  Quel- 
quefois même  (cornet)  ils  sont  au  nombre  de  six  et  pro- 
duisent les  six  premiers  sont  partiels  (par  exemple  pour  le 
fondamental  t/t0,  les  sons  utu  solu  utt,  miit  soL_)  :  il  Tant 
s'arranger  de  manière  que  l'intensité  des  sons  partiels  di- 
minue à  mesure  que  leur  numéro  d'ordre  augmente.  On  doit 
se  représenter  tous  les  sons  comme  ceux  des  jeux  de  four- 
niture qui  se  fondent  en  une  sensation  unique  pour  un 
auditeur  non  prévenu. 

3°  Quand  les  partiels  impairs  existent  seuls  (petits  tuyaux 


RESONANCE.    THEOHIE    DE    L  OHEH-LE.  41 

bouchés  de  l'orgue,  cordes  du  piano  pincées  au  milieu,  cla- 
rinette, etc.)  le  son  est  creux  et  nasillard. 

4°  Si  le  fondamental  domine,  le  timbre  est  plein;  il  est 
vide  dans  le  cas  contraire. 

Le  son  des  cordes  est  plus  plein,  lorsqu'elles  sont  ébranlées 
par  les  marteaux,  du  piano,  que  lorsqu'elles  sont  frappées 
avec  un  morceau  de  bois.  Ou  démontre  en  effet  que  les  har- 
moniques ont  des  amplitudes  en  raison  inverse  du  numéro 
d'ordre  dans  le  cas  d'un  marteau  tranchant,  c'est-à-dire 
qu'elles  sont  relativement  considérables;  ces  amplitudes  di- 
minuent beaucoup  plus  vite  si  le  marteau  est  arrondi.  Le 
son  des  tuyaux  à  anches  associés  à  des  résonateurs  est  plus 
plein  que  le  son  des  mêmes  tuyaux  sans  résonateurs. 

5°  Quand  les  harmoniques  supérieurs^,  à  partir  du  sixième, 
sont  intenses,  le  son  devient  aigre  et  dur  (hautbois,  basson, 
harmonium,  etc.).  Mais  un  certain  degré  de  dureté  n'est  pas 
pour  faire  proscrire  ces  sons  de  l'orchestre;  ils  doivent  à 
leur  pénétration  singulière  un  rôle  spécial. 

27.  Cause  physique  des  différents  timbres.  —  Nous  savons 
que  tout  son  périodique  peut  s'exprimer  par  une  série 

x  =  a,sin(uW  —  ^î)  -i-  a2  sin(2u>  2  —  a2 )+.... 

Il  est  donc  évident  a  priori  que  le  timbre  peut  dépendre  des 
valeurs  relatives  des  amplitudes  ax,  a2.  .  . . ,  et  aussi  des  dif- 
férences de  phase  a2 — at ,  a3  —  a,,  ....  Gela  revient  à  dire 
qu'a  priori  il  n'y  a  aucune  raison  de  ne  pas  admettre  que  le 
timbre  dépend  de  la  forme  de  la  vibration. 

Cependant,  si  l'oreille  décompose  le  son  en  ses  constituants, 
et  l'entend  comme  un  véritable  accord  (qu'elle  soit  habituée 
ou  non  à  séparer  consciemment  les  divers  constituants  sim- 
ples), il  paraît  probable  que  les  phases  n'interviendront  pas. 
puisqu"en  définitive  les  sons  simples  jouent  des  rôles  auto- 
nomes (le  cas  des  battements  étant  écarté  pour  le  moment). 

C'est  précisément  la  thèse  d'Helmholtz  qui  énonce  la  loi 
suivante  :  le  timbre  d'un  son  complexe  dépend  seulement 
du  nombre  et  de  l'intensité  des  sons  partiels;  il  ne  dépend 
pas  de  leurs  différences  de  phase.  II  ne  s'agit  bien  entendu 
que  du  timbre  musical;  si  le  son  est  associé  à  des  bruits  non 
musicaux    (roulement,    raclement,    sifflement,    bourdonne- 


.;•>  CHAPITRE   ni. 

ment,  etc.)  nous  devons  les  considérer  comme  des  bruits  non 
périodiques;  il  n'j  a  plus  à  parler  à  ce  propos  de  leurs  diffé- 
i  ences  de  phase. 

Helmlioltz  institua  une  série  d'expériences  très  intéres- 
santes pour  vérifier  sa  loi.  Il  s'appuie  sur  la  théorie  de  la 
résonance.  Un  diapason  est  placé  devant  un  tuyau  de  réso- 
nance qu'on  peut  accorder  exactement  sur  lui,  ou  désaccorder 
plus  ou  moins.  Sans  entrer  dans  le  détail  du  phénomène  qui 
est  assez  compliqué,  nous  savons  (§  17)  qu'il  existe  généra- 
lement entre  le  son  excitateur  el  le  son  excité  une  différence 
de  phase.  Or  il  se  trouve  qu'au  voisinage  du  maximum  de 
résonance,  le  moindre  désaccord  produit  une  variation  énorme 
de  la  différence  de  phase  pour  une  variation  insensible  de  la 
résonance.  Imaginons  plusieurs  diapasons  donnant  les  har- 
moniques d'un  fondamental,  pourvus  de  tuyaux  de  résonance 
et  entretenus  par  le  même  courant;  nous  sommes  donc 
assurés  de  leur  concordance  de  phase.  Désaccordons  plus  ou 
moins  quelques-uns  des  tuyaux;  nous  modifierons  la  phase 
de  quelques-u-s  des^Tiarmoniques.  Helmholtz  trouve  que  le 
timbre  ne  change  pas. 

Si  la  loi  de  Helmholtz  est  exacte  le  même  timbre  peut 
résulter  de  vibrations  présentant  les  formes  les  plus  di- 
verses, pourvu  que  ces  formes  puissent  être  décomposées 
en  vibrations  simples  ayant  les  mêmes  amplitudes. 

L'exactitude  de  la  loi  a  été  contestée  par  Kœnig  (Expé- 
riences acoustiques,  p.  222).  11  utilise  pour  sa  démonstra- 
tion une  sirène  à  ondes.  C'est  un  instrument  destiné  à  produire 
dans  l'air  un  mouvement  dont  l'amplitude  estdélerminée  par 
le  moyen  d'une  bande  dont  un  des  bords  est  rectiligne  et 
dont  l'autre  représente  par  sa  distance  au  premier  la  loi  du 
mouvement  à  produire;  elle  est  découpée  dans  une  feuille 
de  métal  et  glisse,  parallèlement  à  sa  longueur  et  avec  une 
vitesse  constante,  devant  une  fente  étroite  servant  de  lumière 
à  un  porte-vent  :  elle  l'allonge  ou  la  raccourcit  périodique- 
ment, suivant  la  loi  qu'elle  exprime.  En  fait  la  translation 
indéfinie  est  remplacée  par  une  rotation  uniforme. 

On  conçoit  que  plusieurs  courbes  sinusoïdales  soient 
montées  cylindriquement  autour  d'un  même  axe  et  produi- 
sent, en  tournant  devant  autant  de  fentes,  un  fondamental 
et  ses  harmoniques.   En   décalant  les  courbes    les  unes  par 


RÉSONANCE.    THÉORIE    DE    L'OREILLE.  43 

rapport  aux  autres,   on  fait  varier  les  phases   relatives  des 
divers  sons  partiels. 

Kœnig  trouve  que  le  timbre  dépend  des  positions  relatives 
des  courbes  et  par  conséquent  des  phases.  Il  est  juste  d'ajouter 
que  son  appareil  est  bien  complexe;  on  peut  se  demander  si 
le  vent  d'un  des  sons  n'influe  pas  sur  la  production  et  l'inten- 
sité du  son  voisin  et  d'une  manière  qui  dépend  précisément 
de  la  phase  relative;  Kœnig  avoue  lui-même  que  les  diffé- 
rences de  timbre,  à  supposer  qu'elles  existent,  ne  sont  pas 
aisées  à  discerner. 

28.  Timbre  des  voix.  —  Aucun  instrument  ne  montre 
mieux  que  la  voix  humaine  l'importance  du  timbre. 

En  ne  tenant  compte  que  de  la  hauteur,  on  classe  d'abord 
les  voix  en  deux  groupes  qui  sont  sensiblement  à  une  octave 
de  distance.  Les  voix  graves  incultes  évoluent  entre  les 
sons  ut2  (i28v)  et  utz  (256T);  ce  sont  celles  des  hommes 
faits.  Les  voix  aiguës  incultes  évoluent  à  une  octave  au- 
dessus,  de  ut3  (256v)  à  utk  (5i  2V)  ;  ce  sont  celles  des  femmes, 
des  eunuques  et  des  enfants;  les  hommes  peuvent  en  appro- 
cher en  chantant  le  fausset  ou  la  voix  de  tête  qui  est  à  l'oc- 
tave de  la  voix  dite  de  poitrine. 

L'exercice  augmente  l'étendue  de  la  voix  soit  vers  le  haut, 
soit  vers  le  bas.  Une  voix  bien  développée  peut  parcourir  une 
étendue  à  peu  près  égale  à  deux  octaves  ;'mais  cet  intervalle 
est  généralement  loin  d'être  atteint  (  '  ).  Suivant  les  sons  qu'il 
leur  est  possible  d'émettre,  les  voix  d'hommes  se  classent  en 
basses,  barytons,  ténors;  les  voix  de  femmes  en  contraltos 
et  sopranos  plus  ou  moins  aigus,  à  une  octave  des  voix 
d'hommes. 

Exceptionnellement  la  voix  du  ténor  peut  aller  du  solx  au 
uti,ïi  (ut  de  Tamberlick);  elle  ne  va  généralement  que  du 
/«!  au  la3.  Bien  entendu,  les  auteurs  diffèrent  considérable- 

( '  ;  On  appelle  tessiture  l'ensemble  des  sons  qui  conviennent  le  mieux 
à  une  voix,  et  par  extension  l'ensemble  des  notes  qui  se  retrouvent  le 
plus  souvent  dans  un  morceau. 

Il  y  a  intérêt  à  diminuer  la  distance  des  sons  utilisés  dans  une  partie 
vocale  pour  employer  les  plus  agréables  dans  chaque  espèce  de  voix. 
Dans  les  parties  de  plain-chant,  par  exemple,  on  ne  trouve  jamais 
d*élendue  supérieure  à  une  neuvième,  c'est-à-dire  à  deux  quintes. 


44  I  h  U»ITRÉ   Ml. 

menl  dans  les  limites  qu'ils  Indiquent  pour  les  voix,  suivant 
les  pays  auxquels  ils  appartiennent.  Sur  les  parties,  la  voix 
de  ténor  se  note  du  la,,  au  la,,  c'est-à-dire  une  octave  plus 
haut  que  la  h  a  a  leur  réelle. 

La  voix  de  soprano/////'  se  note  à  la  vraie  hauteur,  va  du 
la.,  nu  la,.  Exceptionnellement  elle  va  du  soin  au  mis. 

La  basse  (hommes)  va  du  mix  au  re3;  elle  est  notée  en  clef 
de  fa.  Le  contralto,  qui  lui  correspond  pour  les  femmes,  va 
du  mi2  au  fa.,  ;  elle  se  note  en  clef  de  sol. 

11  est  à  remarquer  que,  pour  un  même  sexe,  une  voix  très 
basse  n'est  guère  qu'à  une  quinte  au-dessous  d'une  voix 
très  aiguë.  On  sait  pourtant  à  quel  point  diffèrent  les  impres- 
sions ressenties  à  l'audition  d'une  voix,  de  soprano  et  à  l'au- 
dition d'une  voix  de  contralto.  Il  faut  donc  rapporter  ces  dif- 
férences d'effet,  non  à  la  hauteur  absolue,  mais  au  timbre. 
Les  sons  de  la  voix  humaine  se  rapprochent  par  leur 
composition  des  sons  des  tuyaux  ouverts  de  l'orgue.  Ils  con- 
tiennent les  premiers  harmoniques  du  fondamental  avec  une 
intensité  considérable,  mais  très  variable  suivant  les  voix; 
d'où  les  timbres  caractéristiques. 

Avec  le  secours  des  résonateurs,  on  peut  reconnaître  dans 
les  notes  graves  de  la  voix  de  basse,  chantées  avec  force  sui- 
des voyelles  éclatantes,  des  harmoniques  allant  jusqu'au 
seizième.  Chez  les  voix  mordantes  les  harmoniques  sont  bien 
plus  nombreux  et  plus  intenses  que  chez  les  voix  douces  et 
sombres. 

On  sait  que  l'appareil  vocal  est  formé  d'anches  membra- 
neuses: si  ies  replis,  appelés  cordes  vocales,  n'arrivent  jamais 
à  se  toucher  et  à  fermer  complètement  l'orifice  de  la  glotte, 
ils  forment  des  anches  libres,  et  la  voix  est  douce  et  plus  ou 
moins  voilée.  Si  au  contraire  ils  se  heurtent  et  donnent  ainsi 
une  discontinuité  beaucoup  plus  marquée,  ils  forment  des 
anches  battantes  et  la  voix  est  claironnante  ou  même  rauque, 
suivant  les  cas. 

La  cavité  buccale  intervient  comme  résonateur,  pour  ren- 
forcer un  certain  nombre  de  sons  de  hauteur  déterminée. 
Suivant  que  les  harmoniques  du  son  émis  par  le  larynx  se 
rapprochent  plus  ou  moins  des  sons  renforcés  par  la  cavité 
buccale  dans  sa  forme  actuelle,  leurs  intensités  relatives 
varient  beaucoup.  On  peut  donc  modifier  considérablement 


AFFINITE    DE?    SONS.  j5 

le  timbre  d'un  son  de  hauteur  donnée,  en  modifiant  la  forme 
de  la  cavité  buccale. 

L'étude  des  voyelles  se  ramène  donc  à  l'étude  de  la  réso- 
nance de  la  bouche,  lïlle  consiste  à  déterminer  la  hauteur 
ou  les  hauteurs  pour  lesquelles  la  masse  d'air  buccale  est 
accordée,  pour  toutes  le;  formes  possibles.  On  comprend 
immédiatement  pourquoi  certaines  notes  se  chantent  plus 
aisément  sur  une  voyelle  que  sur  une  autre  (]). 

L'élude  des  voyelles  ne  rentrant  pas  dans  le  cadre  de  ce 
petit  Livre,  je  n'insiste  pas. 


CHAPITRE  IV. 

AFFINITÉ    DES   SONS.    CONSTITUTION    DE    LA    GAMME    RATIONNELLE. 

20.  Importance  des  harmoniques.  —  Helmholtz,  après 
une  infinité  de  physiciens  et  de  musiciens  parmi  les  plus 
éminents,  fait  dériver  toutes  les  lois  de  parenté  des  sons  de 
l'existence  des  harmoniques.  Il  faut  donc  montrer  quelle  est 
leur  importance  et  leur  véritable  rôle. 

Voici  déjà  longtemps  que  Chladni  a  présenté  avec  force 
l'objection  capitale  à  ce  système  :  «  Il  n'est  pas  conforme  à 
la  nature,  dit-il  {Traité  d'acoustique,  p.  il),  de  vouloir 
dériver  toute  l'harmonie  des  vibrations  d'une  corde  et  surtout 
de  la  coexistence  de  quelques  sons  avec  le  fondamental.  Une 
corde  n'est  qu'une  espèce  de  corps  sonore.  Dans  beaucoup 
d'autres  corps  les  lois  générales  des  vibrations  soDt  très  dif- 
férentes; par  conséquent  on  ne  peut  pas  appliquer  les  lois 
d'un  corps  sonore  particulier  à  ce  qui  doit  être  commun  à 
tous.  Un  monocorde  ne  peut  donc  pas  servir  pour  établir  les 
principes  de  l'harmonie.  .  .   ». 

En  d'autres  terme-,  il  y  a  des  corps  qui  émettent  des  par- 

(  "' )  Une  expérience  très  simple  prouve  que  les  voyelles  sont  associées 
à  des  sons  de  hauteurs  absolues  déterminées.  Quand  on  fait  tourner 
un  phonographe  avec  une  vitesse  qui  n'est  pa«  convenal«le,  les  paroles 
deviennent  incompréhensibles,  preuve  que  les  voyelles  ne  sont  pas 
caractérisées  par  des  accords,  mais  bien  par  des  sons  de  hauteurs 
ftxcs. 


Il 


46  CHAPITRE   IV.      • 

liels  non  harmoniques  du  fondamental;  donc  les  harmoniques 
n'ont  pas  en  musique  le  rôle  prédominant  que  plusieurs  leur 
attribuent. 

On  peut  d'abord  faire  à  cette  objection  une  réponse  sans 
réplique  :  on  n'utilise  en  musique,  l'oreille  ne  considère 
comme  vraiment  musicaux,  que  les  sons  dont  les  partiels 
I  sont  harmoniques  du  fondamental.  11  n'arrivera  à  personne 
de  prendre  pour  base  d'un  système  musical  le  son  des  cym- 
bales, des  cloebes  ou  du  tambour.  On  a  donc  parfaitement  le 
droit  de  faire  en  musique  une  place  à  part  aux.  harmoniques, 
alors  même  qu'ils  n'auraient  pas  un  rôle  prédominant  en 
acoustique. 

Mais  il  se  trouve  de  plus  que  les  harmoniques  ont  aussi 
une  importance  capitale  en  acoustique  et  ne  peuvent  être 
assimilas  à  des  sons  partiels  quelconques.  Helmholtz  le  dé- 
montre par  une  théorie  très  neuve  et  très  intéressante  des 
sons  résultants,  dont  voici  le  résumé. 

30.  Sons  résultants.  —  Dans  la  théorie  de  la  résonance 
du  §  16  nous  avons  supposé  que  le  corps  excité,  éloigné  de 
sa  position  d'équilibre,  tend  à  y  revenir  avec  une  force  pro- 
portionnelle à  l'écart.  Il  peut  se  faire  qu'il  soit  dissymé- 
trique, comme  l'est  par  exemple  le  tympan.  La  théorie 
montre  qu'alors  un  son  simple  de  hauteur  p  y  excite  non 
seulement  le  son  de  hauteur  /?,  mais  tous  ses  harmoniques; 
que  deux  sons  simples  de  hauteurs  p  e.1  q  y  excitent,  outre 
leurs  harmoniques,  les  sons/?  —  q  (différentiel  du  premier 
ordre),  p  +  q  (additionnel  du  premier  ordre),  ip  —  q, 
nq  —  /?,  ip  -+-  q.  iq  H- p,  ...  (sons  du  deuxième  ordre)  : 
on  les  appelle  sons  résultants. 

Voici  la  démonstration  de  cette  proposition. 

L'équation  générale  du  mouvement  est  (en  négligeant  le 
terme  amortisseur)  : 

d  '  oc 
(1)  —  m  —rx  —  ax  +  ta-!4- P  s'xniT.pt  ■+-  Q  sin(2-£j  -+-  x). 

Le  corps  écarté  de  sa  position  d'équilibre  et  abandonné  à 
lui-même  (P  =  o,  Q  =  o)  y  revient  sous  l'influence  de  la  force 
dissymétrique  ax -h  bx-;  elle  n'est  pas  la  même  pour  deux 


AFFINITÉ    DES   SONS.  47 

valeurs  égales  et  de  signes  contraires  de  x.  Il  s'agit  de  trouver 
l'intégrale  générale. 

Développons  la  solution  en  série  par  rapport  à  une  variable 
auxiliaire  e.  Nous  poserons 

x  =  zXi-i-z*a;t+z3x3  +  ...,         P  =  eP„         Q  =  eQ„ 

Substituons  dans  (  i  )  et  égalons  séparément  à  o  les  coeffi- 
cients des  diverses  puissances  de  t.  Cela  revient  à  faire  une 
série  d'approximations. 

Comme  première  approximation  nous  aurons 

(2)  m  -—■  -j-oarjH-  Pj  sin  i~pt  -+-  Qj  s\n(i~q  tA-  y.)  =  o. 

Nous  négligeons  donc  ,1e  terme  en  x-.  Nous  savons  que  le 
corps  ainsi  excité  donne  deux  sons  de  hauteur  p  et  q;  il  y  a 
superposition  pure  et  simple  des  effets  des  sons  excitateurs. 

La  seconde  approximation  fournit 

(3)  m  ~^~  ■+-  ax%  -f-  bx\  =  o. 

Introduisons  à  la  place  de  xt  l'intégrale  précédemment 
trouvée  comme  première  approximation  :  sa  partie  perma- 
nente est  de  la  forme 

Xi  =  Pj  $\ri2-pt  -h  Q',  s'\n('2.-qt  -+-/.). 

Développons  les  carrés  des  sinus  et  leurs  produits;  nous 
aurons  l'expression  de  x±  en  fonction  de 

sin27T(2/?)«,     s\n2~(2q)t,     sin2-(/>—  q)t,     sin  2  -(/>  -+-  ?  )t. 

Substituant  dans  (3)  nous  retrouverons  une  équation  de 
la  forme  (  2  )  ;  elle  nous  apprend  que,  comme  seconde  approxi- 
mation, le  corps  excité  donne  les  octaves  des  sons  primaires 
et  les  sons  résultants  du  premier  ordre.  Si  les  sons  excita- 
teurs sont  faibles,  l'amplitude  des  harmoniques  et  des  sons 
résultants  est  faible;  mais  elle  croît  très  vite  quand  les  sons 
excitateurs  deviennent  intenses. 

La  troisième  approximation  donne 

dlxz  , 

(4)  m  —r H  ax3  —  ibxlxi  =  o. 

Nous  n'avons  qu'à  répéter  les  raisonnements  et  les  calculs 


48  i  n  \iTnu:  îv. 

précédents  pour  prouver  l'existence  des  sons  de  hauteur 

ip,        3q,  -j.p  —  q,        iq-^p,        -±p—<J,         %q—  p, 

résultants  du  second  ordre. 

Soit  Q  =  o;  nous  obtenons  la  règle  suivante  :  si  un  son 
pendulaire  suffisamment  intense  agit  sur  un  corps  dissymé- 
trigue,  ie  mouvement  périodique  induit  contient  la  série 
complète  des  harmoniques. 

31.  Condition  d'existence  des  sons  résultants  ou  de  pro- 
duction des  harmoniques  par  un  son  pendulaire.  —  Comme 
on  vient  de  1e  voir,  les  deux  questions  de  la  production  par 
résonance  :  i°  des  harmoniques  d'un  son  simple;  2°  des  sons 
résultants  de  deux  sons  simples,  se  ramènent  à  une  seule. 
Il  doit  naître  des  harmoniques  et  des  sons  résultants  chaque 
fois  que  les  vibrations  ne  peuvent  pas  être  considérées  comme 
infiniment  petites;  les  équations  du  mouvement  ne  sont  plus 
linéaires,  le  principe  des  petits  mouvements  ne  s'applique 
plus. 

On  prouve  directement  que  les  harmoniques  d'un  son 
simple  intense,  ou  les  sons  résultants  de  deux  sons  simples 
intenses  se  produisent  objectivement,  lorsque  des  ébranle- 
ments considérables  sont  communiqués  à  une  même  masse 
d'air  ou  généralement  à  un  même  résonateur.  On  entend 
les  sons  résultants  avec  une  intensité  extraordinaire  en  uti- 
lisant un  harmonium. 

Mais  il  est  important  pour  l'objet  qui  nous  occupe  de 
remarquer  que  les  parties  vibrantes  extérieures  de  l'oreille, 
surtout  le  tympan  et  les  osselets  qui  forment  un  système 
essentiellement  dissymétrique,  peuvent  fournir  des  harmo- 
niques et  des  sons  résultants  chaque  fois  qu'elles  sont  sou- 
mises à  un  ou  deux  sons  pendulaires  d'intensités  considé- 
rables. 

Les  harmoniques  jouent  donc  un  rôle  fondamental  et  très 
différent  de  celui  d'une  série  quelconque  de  sons  partiels, 
puisqu'ils  peuvent  résulter  de  l'audition  d'un  son  parfaite- 
ment simple. 

On  remarquera  que  la  hauteur  du  premier  son  différentiel 
est  égale  au  nombre  par  seconde  des  battements  des  sons 
primaires  (différence  des  hauteurs).  Ou  l'a  quelquefois  con- 


AFFINITÉ    DES    SONS.  49 

sidéré  comme  un  son  de  battements.  Si  la  théorie  que  j'expose 
est  exacte,  cette  manière  de  voir  est  insoutenable.  Le  son 
résultant  p  —  q  agit  principalement  sur  les  résonateurs  auri- 
culaires accordés  à  la  hauteur  p  —  q,  tandis  que  les  batte- 
ments produits  par  l'interférence  des  sons  suffisamment 
voisins  p  et  q  agissent  simultanément  sur  les  résonateurs 
accordés  sur  les  sons  voisins  des  sons  p  et  q  (§  2+). 

Les  premiers  différentiels  sont  très  faciles  à  entendre, 
surtout  avec  l'harmonium  (1).  Voici  leur  hauteur  dans  le 
tempérament  égal  en  prenant  l'«£3=:256r  comme  base  de 
l'accord  : 


leuxieme    note 
de  l'accord. . .      ré-à 

lifTérentiel  ....      ut,. 


™\ 

m  l'a 

fa-i 

287 

3o4 

322 

solu 

ut, 

fo-x 

31 

48 

G6 

sol\ 

la3 

la'. 

384 

407 

43 1 

ré'» 

/«2 

sol'2 

128 

1 5 1 

173 

3  4  ï 


fa\ 

362 

la, 

106 

•"'3 

uth 

483 

5  ri 

/«Ô 

ut3 

227 

25G 

euxieme    note 

de  l'accord. ..     so/^ 

iflerentiel  ....      uto 


Les  sons  différentiels  ne  sont  pas  identiques  aux  sons 
notés;  il  peut  résulter  de  là  des  battements  qui  inter- 
viennent, comme  nous  le  verrons,  dans  la  consonance  des 
accords.  Il  est  remarquable  et  très  facile  de  constater  qu'un 
son,  qui  ne  bat  pas  avec  l'un  ou  l'autre  des  sons  d'un  accord, 
peut  battre  effrovablemenl  avec  cet  accord.  Emettons  d'abord 
séparément  les  accords  fa%  ut3  et  fa<>  la3;  pas  de  battements. 
Émettons  l'accord  fa.,  ut3  la3;  il  y  a  des  battements  :  fa2  bat 
avec  le  premier  différentiel  de  ut3  la3. 

Voici  qui  est  encore  plus  remarquable.  Considérons  l'ac- 
cord parfait  ut3mi3sol3\  dans  la  gamme  de  Zarlin,  les  ac- 
cords ut3mi3  et  mi3sol3  ont  le  même  différentiel  utl^=64v. 
Dans  la  gamme  tempérée,  le  différentiel  de  ut3  mi%  a  66  vi- 
brations, le  différentiel  de  mi3sol3  en  a  60  seulement.   On 

( !  )  Il  est  déplorable  que  les  cabinets  de  Physique,  qui  possèdent  si 
souvent  des  appareils  coûteux  et  inutiles,  ne  consacrent  pas  35ofr  à 
l'achat  d'un  harmonium  (2  jeux  et  demi,  iranspositeur),  indispensable 
pour  renseignement. 

Scient  ta.  n°  '28.  4 


min 

fa  a 

so/a 

lai 

///3 

322 

341 

384 

Î3i 

5l2 

re4 

re'J 

/ni; 

/a* 

soU 

5;8 

^>97 

G40 

G87 

768 

5o  CHAPlïHE    iv. 

entend  battre  un  son  très  ï/<n<\  qu'il  est  facile  d'iden- 
tifier avec  l'ut}  quand  on  écrit  l'accord,  dit  parfait, 
utt  mis  sol^ 

Les  sons  additionnels  sont  bien  moins  nets  que  les  diffé- 
rentiels. Le  Tableau  en  donne  le  premier.  Il  est  construit 
dan-  les  mêmes  hj'pothèses  que  le  précédent. 

Deuxième  note  de  l'accord.     /•<?'.•, 

''-s7 
Additionnel ut\ 

Les  premiers  additionnels  sont  contenus  dans  la  quinte 
ut.tsolk;  s'ils  n'étaient  pas  très  faibles,  ils  donneraient,  avec 
leurs  primaires  ou  les  harmoniques  de  ceux-ci,  des  disso- 
nances très  dures. 

3-2.  Construction  de  la  gamme  diatonique  majeure  (1). 
—  Il  s'agit  maintenant  d"expliquer  comment  on  a  été  amené 
à  diviser  l'échelle  continue  des  sons  en  degrés  discontinus. 
Cette  division  n'est  évidemment  pas  arbitraire,  puisqu'elle 
se  retrouve  à  peu  près  identique  chez  les  peuples  les  plus 
divers  et  à  des  époques  très  différentes.  Nous  en  chercherons 
la  raison  dans  la  complexité  des  sons  proprement  musi- 
caux, laissant  de  côté  pour  l'instant  la  question  de  savoir 
pourquoi  ils  nous  semblent  particulièrement  agréables. 

Commençons  par  l'octave  qui  a  la  parenté  la  plus  nette 
avec  le  son  fondamenlal. 

Si  Ton  donne  sur  un  instrument  musical  d'abord  le  ut0 
puis  le  ut},  nous  entendons,  quand  le  ut%  résonne,  une 
partie  de  ce  que  nous  venons  d'entendre.  En  effet,  le  pre- 
mier son  contient  les  harmoniques  «/,,  ut>,  soL,  ...,  qui 
sont  aussi  les  harmoniques  du  ut}.  Par  conséquent  la  répéti- 
tion à  l'octave  d'une  mélodie  n'est  en  réalité  que  la  répé- 
tition d"une  partie  de  la  même  mélodie.  Comme  les  harmo- 


(«)  Nou^  ne  faisons  pas  ici  un  historique  de  la  manière  dont  la 
gamme  diatonique  a  été  découverte:  nous  cherchons  seulement  à 
expliquer  les  raisons  qui  la  légitiment.  La  théorie  que  les  Grecs  don- 
naient de  leurs  gammes  n'a  aucun  rapport  avec  celle  que  nous  admet- 
tons;']! est  d'autant  plus  curieux  qu'ils  soient  parvenus  eu  somme  aux 
mêmes  résultats. 


AFFINITE    DES    SONS.  3  1 

niques  du  ttt^  ne  sont  que  les  partiels  pairs  de  ut0.  aucun 
élément  nouveau  ne  s'ajoute  à  ce  que  nous  avons  déjà 
entendu.  Quand  nous  accompagnons  une  mélodie  à  l'octave 
aiguë,  nous  ne  faisons  que  renforcer  les  harmoniques  pairs. 

De  là  découlent  la  première  et  principale  division  de  notre 
échelle  musicale  et  la  quasi-équivalence  des  sons  à  l'octave 
les  uns  des  autres.  On  conçoit  la  monotonie  d'un  accompa- 
gnement à  l'octave  et  pourquoi  il  est  proscrit  dans  une  mu- 
sique à  plusieurs  parties. 

Considérons  maintenant  les  intervalles  définis  par  les 
nombres  3  et  |.  Le  log  de  -|  est  0,1761;  l'intervalle  \  est  donc 
de  1 76e7,  1  -  Il  est  donc  plus  grand  que  l'intervalle  tempéré 
de  quinte  qui  vaut  f$  de  301er,  soit  175*, 6;  la  différence  est 
d'un-demi  savart.  Nous  appellerons  cet  intervalle  quinte 
juste  harmonique;  l'intervalle  entre  le  fondamental  et  l'oc- 
tave de  la  quinte  est  donc  une  douzième  harmonique. 

Ce  qu'on  a  dit  plus  haut  de  l'octave  s'applique,  mais  à  un 
degré  moindre,   à  la   douzième  harmonique  et  à   un  degré 
moindre  encore  à  la  quinte  harmonique.  Représentons^en- 
effet  les  harmoniques  de  ces  sons,  en  appelant  2  le  fonda- 
mental : 


Fondamental  ...      1 

Douzième 

Quinte 


12 

11 
12 


Quand  nous  1  eproduisons  une  mélodie  à  la  douzième,  nous 
ne  retrouvons  les  partiels  du  fondamental  que  de  3  en  3. 
Donc  nous  n'entendons  qu'une  partie  plus  restreinte  de  ce 
que  nous  avons  déjà  entendu. 

Quand  nous  reproduisons  une  mélodie  à  la  quinte,  nous 
réentendons  non  seulement  les  harmoniques  du  fondamental 
de  3  en  3,  mais  encore  des  sons  nouveaux  (sons  3  et  91. 
C'est  toutefois  la  répétition  la  plus  exacte  que  nous  puissions 
faire  avec  un  intervalle  inférieur  à  l'octave.  Aussi  les  chan- 
teurs les  moins  exercés  sont-ils  tentés  d'utiliser  l'accompa- 
gnement à  la  quinte  qui  était  même  systématiquement  em- 
ployé au  début  du  moven  âge.  On  sait  le  rôle  que,  dans  la 
musique  moderne,  joue  la  transposition  à  la  quinte;  dans  la 


U  I  HAÏTI  iu:    IV. 

fugue  normale,  le  sujet  est  reproduit  à  la  quinte;  dans  la 

sonate,  le  thème  pa?se  à  la  quinte  dans  la  première  reprise 

pour  revenir  au  ton   fondamental  dans  la  deuxième  partie. 

Nous  ne  pouvons  donc  pas  nous  étonner  que  l'intervalle  de 

quinte  se  retrouve  avec  l'intervalle  d'octave  dans  toutes  les 

gammes  de  tous  les  peuples. 

Nous  voici    parvenus  à   la  division    ut0  sol0   utx\   nous   en 

déduisons    immédiatement    l'intervalle    de    quarte    harmo- 

nique  è  et  par  conséquent  l'existence  du  degré  fa  et  la  divi- 

vision  :  ut,  fa,  sol,  utr  En  effet,  la  parenté  des  sons/«0  uti 

est  exactement  la   même  que    la  parenté  des   sons   ut,  sol», 

'        3 
puisque  -  X  -  =  2.  Le  troisième  harmonique  de/a0  est  uts 
1         '        3         2 

nui  est  aussi  le  second  harmonique  de  utv 

..,34g 
Mais  les  deux  sons  fa0  sol,  font  un  intervalle  -  :  ^  =  g 

avec  lequel  nous  devenons  familiers;  c'est  le  Ion  majeur 
harmonique  de  5i  savarls.  On  conçoit  qu'on  ait  rempli  les 
intervalles  trop  grands  utofa0,  sol0  utu  par  des  sons  faisant 
le  même  intervalle  avec  les  deux  sons  extrêmes;  d'où  une 
gamme  qui  se  rencontre  assez  fréquemment  dans  l'histoire 
de  la  musique  : 

ut0  re'o,        fa,  sol0,         si9  ut{. 

T  T  T       - 

Le  si?  ainsi  défini  est  à  5ia  de  l'aÉ,  et  par  conséquent 
à  sSo*7  de  ïutn- 

Revenons  au  mode  normal  de  découverte  des  degrés  de  la 
gamme  diatonique. 

11  est  inutile  de  reprendre  mot  pour  mot  ce  que  nous  avons 
dit  pour  l'octave  et  la  quinte.  La  tierce  harmonique  {  {ut0  miQ) 
nous  est  fournie  par  le  cinquième  harmonique  mi%;  c'est  le 
mi0  harmonique  dont  l'intervalle  avec  le  fondamental  est  de 
g-  savarts;  il  est  donc  légèrement  au-dessous  (de  3  savarts 
environ)  du  mi0  tempéré.  Le  sixième  harmonique  donne 
l'octave  de  la  douzième,  soit  la  double  octave  de  la  quinte  : 
rien  de  nouveau.  Le  septième  harmonique  fournit  le  son  j 
soit  un  son  à  2^G  du  fondamental  :  c'est  encore  à  peu  près 
le  sr.  Le  huitième  nous  donne  la  triple  octave.  Enfin  le  neu- 


AFFINITE   DES   SONS. 


vième  donne   un   son  à  trois  octaves  au-dessus  du  ré0  déjà 
défini  plus  liant  par  un  autre  procédé. 

En  définitive,  nous  appuyant  uniquement  sur  l'existence 
des  harmoniques,  en  prenant  comme  principe  que  les  de- 
grés choisis  pour  l'échelle  musicale  sont  déjà  dans  le  fon- 
damental, nous  arrivons  à  classer  les  sons  par  octaves  suc- 
cessives et  à  diviser  chaque  octave  de  la  manière  suivante  : 

ut. 


"é. 

mi. 

/«■ 

sol. 

SV  . 

ut. 

9 

5 

4 

3 

7 

1 

8 

4 

3 

2 

4 

33.  Intervalle  de  sixte  et  rôle  de  la  sensible.  —  Si  nous 
arrivons,  par  la  considération  des  harmoniques,  à  retrouver 
les  intervalles  de  la  gamme  diatonique  majeure  jusqu'à  la 
quinte,  la  fin  de  la  gamme  n'est  pas  du  tout  celle  que  nous 
connaissons.  Cherchons  pourquoi  la  précédente  ne  pouvait 
sati-faire. 

La  septième  note,  le  si,  présente  avec  la  tonique  une  rela- 
tion d'espèce  particulière,  le  rapport  de  sensible.  L'oreille 
désire  un  son  préparatoire  de  l'octave  de  la  tonique,  par 
conséquent  un  son  qui  fasse  avec  cette  octave  un  intervalle 
petit.  Le  si;,  ne  répond  pas  à  ce  besoin;  sa  distance  à  Vutx 
est  de  58e7,  soit  un  peu  plus  d'un  ton  majeur.  D'autre  part  la 
distance  entre  le  sol  et  le  si  ?  fourni  par  le  septième  harmo- 
nique est  beaucoup  plus  grande  que  les  premiers  intervalles; 
elle  est  de  67  savarts. 

On  a  donc  été  conduit  à  introduire  avant  Yutx  un  son  qui 
n'en  diffère  que  d'un  intervalle  de  même  ordre  que  le  plus 
petit  intervalle  rationnel  déjà  connu,  soit  l'intervalle  mi  fa 
qui  est  de  {4  ou  28  savarts.  Admettons  par  exemple  cet  inter- 
valle; l'intervalle  sol  si  devient  alors  une  tierce  égale  à  la 
tierce  ut  mi.  Il  était  tout  naturel  de  la  diviser  de  même  et 
l'on  arrive  à  la  gamme  à  sept  sons  plus  l'octave  que  voici  : 


ré. 

mi. 

fa. 

sol. 

la. 

si. 

9 

5 

4 

3 

27 

i5 

8 

4 

3 

2 

16 

8 

9 

10 

i5 

9 

9 

10 

i5 

8 

9 

16 

8 

8 

9 

16 

r 


CHAPITRE   IV 


symétriquement  di\i-ée  en  deux  tétracordes;  ut  ré  nu  fa, 
sol  la  si  ut. 

Mais  cette  manière  de  procéder  est  très  artificielle;  en 
particulier  elle  conduit  à  une  sixième  note  la  qui  n'a  aucune 
parenté  directe  avec  la  tonique,  car  il  est  difficile  de  consi- 
dérer  comme  une  parenté  d'être  à  un  certain  nombre  d'oc- 
taves au-dessous  du  vingt- septième  harmonique.  Nous  re- 
trouverons d'ailleurs  ce  la.  quinte  du  /e,  dans  la  gamme 
pythagoricienne. 

Ne  serait-il  pas  possible  de  décomposer  autrement  l'inter- 
valle sol  si  de  manière  à  obtenir  une  sixième  note  avant  une 
affinité  plus  grande  avec  la  tonique?  Il  suffit,  au  lieu  de  re- 
produire exactement  les  intervalles  ut  ré  mi  fa,  d'intervertir 
le  ton  majeur  et  le  ton  mineur;  on  trouve  enfin  h  gamme- 
diatonique  dite  de  Zarlin,  gamme  admise  par  tous  les  mu- 
siciens depuis  plusieurs  siècles  : 

ut.         ré.  mi.  fa.        sol.  la.  si.  ut. 

q  5  4  3  5  i5 

8  4  3  1  3  8 

9  10  i5  9  10  9  i5 

8  "9"  16  8  "9  8  16 

T.  T".  t.  T.  T.  t. 

D'après  la  définition  générale  des  affinités  entre  les  sons 
posée,  par  Helmholtz,  à  savoir  qu'il  y  a  affinité  du  premier 
degré  quand  les  deux  sons  considérés  ont  des  harmo- 
niques commu/ts,  avec  une  parenté  d'autant  plus  étroite  que 
les  harmoniques  communs  sont  plus  nombreux,  il  est  clair 
que  le  la0  que  nous  venons  de  définir  a  une  parenté  encore 
étroite  avec  Yut0;  son  troisième  harmonique  mi2  est  le  cin- 
quième harmonique  de  ut0;  son  sixième  harmonique  est  le 
dixième  du  fondamental.  Au  contraire,  le  la0,  faisant  avec 
ïut0  l'intervalle  f-J-,  a  une  parenté  très  étroite  avec  le  /é0  dont 
il  est  la  quinte,  mais  une  parenté  quasi-nulle  avec  le  fonda- 
mental. 

Quant  à  la  septième  note,  sa  parenté  avec  le  fondamental 
est  très  faible;  il  ne  faut  donc  pas  s'étonner  que  sa  hauteur 
soit,  très  mal  fixée  et  prête  toujours  à  contestation.  On  est 
tenté  dans  les  mélodies  de  la  rapprocher  de  l'octave  de  la  lo- 


I    :    . 

AFFINITE    DES    SON?. 


55- 


nique  dont  elle  est  la  préparation.  Mais  'celle  note  s'e'trMrvè^ 
par  /à  même  élevée  à  une  importance  toute  particulière.  La 
musique  classique,  qui  cherche  à  accentuer  le  rôle  de  la  to- 
nique, avait  besoin  dans  les  mouvements  ascendants  vers  la 
tonique  d'un  intervalle  petit.  Aussi,  bien  que  le  si:,,  dont 
l'intervalle  à  la  tonique  est  défini  par  le  rapport  -  ;  4,  pos- 
sède une  affinité  relativement  grande  avec  elle,  il  a  dû  céder 
sa  place  au  si  naturel  plus  voisin  de  la  tonique  et  lui  servant 
de  préparation.  Nous  retrouverons  cette  tendance  du  si  à  se 
rapprocher  de  sa  résolution  en  étudiant  la  gamme  de  Pvlha- 
gore. 

3i.  Mode  diatonique  mineur.  —  Le  mode  diatonique 
mineur,  quelle  que  soit  la  manière  dont  on  écrit  son  échelle, 
présente  de  nouveaux,  sons.  La  gamme  ascendante  s'écrit 
presque  toujours  aujourd'hui  : 

ut  =  ré  —  mi7  =  fa  =  sol  —  la"  =  si  —  ut  ; 

dans  une  mélodie  en  ut  mineur  procédant  par  voie  montante 

le  mi  et  le  la  sont  bémolisés.   L'intervalle  ut  mi"  (6:5)  est 

une  tierce  mineure;  l'intervalle  ut  la?  (8  :  5)  est  une  sixte 
mineure. 

Mais  la  gamme  descendante  peut  très  bien  s'écrire  : 

ut  =  ré —  mf  =fa  =  sol  —  la"  =  si?  =  ut: 

dans  une  marche  descendante  en  ut  mineur  l'oreille  n'est  pas 

choquée  par  un  si  .  Certains  compositeurs,  répugnant  à  ce 

vide  d'un  ton  et  demi  {la=si)  qui  est  pourtant  la  raison 
du  charme  un  peu  maladif  du  mode  mineur,  n'hésitent  pas 
à  employer  comme  gamme  mineure  ascendante  la  série  : 

ut  =  ré  —  m*  =fa  =  sol  =  la  =  si  —ut: 

c'était  même  l'échelle  la    plus  usitée  du   temps  de  Rameau. 
Le   mode   dit   mineur  est  donc   plus   varié   que   le   mode 
majeur;  il  est  donc  probable  que  la  parenté  des  sons  avec  la 
tonique  v  est  moindre. 

Effectivement  le  me    (tierce  mineure)  n'entre  pas  dans  la 

série  des  harmoniques  de  Vut,  pas  plus  que  le  la?  (sixte  mi- 


56  CHAPITRE   iv. 

neure),  pas  plus  que  le  «  (septième  mineure)  qui  diffère 
notablement  <1  n  si9  rencontré  parmi  les  partiels  «1  e  l1  // ^ . 

C'est  pourquoi  quelques  théoriciens  considèrent,  le  mode 
mineur  comme  un  mode  contraste,  comme  une  altération  du 
mode  majeur,  n'existant  que  comme  négation  de  ce  mode. 

L'ut  et  le  mv  ne  sont  parents  que  par  l'intermédiaire  du 
sol;  en  effet,  le  troisième  harmonique  de  Yut  est  un  sol,  le 
cinquième  du  mi  est  aussi  un  sol.  La  parenté  de  Yut  et 
du  laT  est  du  même  ordre;  le  la^  admet  un  ut  comme  cin- 
quième harmonique. 

Nous  reviendrons  un  peu  plus  loin  sur  les  difficultés  que 
présente  la  construction  de  la  gamme  mineure. 

35.  Système  de  Rameau.  —  Voici  très  brièvement  résumé 
le  système  exposé  dans  la  Démonstration  du  principe  de 
l'harmonie  de  Rameau  (i~5o);  on  en  verra  la  légère  incor- 
rection scientifique,  imputable  à  l'ignorance  des  physiciens 
et  mathématiciens  à  cette  époque,  et  l'incontestable  intérêt; 
elle  ne  diffère  que  peu  de  la  théorie  de  Helmholtz. 

i°   Tout  corps  sonore  rend,  outre  Je  son   principal,  deux 
autres   sons    plus    faibles   mais   perceptibles,   qui   sont   à    la 
douzième  et  à  la  dix-septième  majeure  du  son  principal.  Si 
le  principal  est  ut^,  outre  ut%  une  oreille  délicate  entend  soi6-- 
et  /m"4. 

Cette  proposition  est  fausse;  on  sait  que  les  partiels  ne 
forment  pas  nécessairement  pour  tous  les  corps  une  série 
harmonique;  c'est  le  mérite  de  Chladni  d'avoir  montré  que 
les  séries  des  partiels  dépendent  essentiellement  de  la  forme 
du  corps  considéré.  Mais  nous  avons  déjà  dit  que  musi- 
l/'  S  calement  parlant  tout  se  passe  comme  si  la  proposition 
était  vraie,  puisqu'on  n'emploie  comme  instruments  que  des 
corps  fournissant  des  séries  harmoniques. 

2°  Si  l'on  accorde  avec  ce  corps  sonore  que  pour  plus  de 
facilite  nous  supposerons  être  une  corde  (on  voit  comment 
Hameau  particularise  de  suite  et  sauve  ce  que  la  première 
proposition  a  de  trop  général)  et  dont  le  principal  est  ut.,, 

quatre  cordes  donnent  solx,  mû,  fa0  et  la_x;  si  l'on  fait  ré- 
sonner la  première,  les  quatre  autres  frémissent.  C'est  par- 
faitement  exact,  car   ut2  contient  comme    harmonique   sol{ 


AFFINITÉ    DES   SONS.  5j 

et  mi.2:  d'ailleurs  fa0  admet  ut,,  comme  troisième  harmo- 
nique et  te!L,  admet  utv  comme  cinquième. 

3°  On  ne  change  pas  le  caractère  des  sons  en  les  abaissant 
d'une  ou  plusieurs  octaves. 

De  ces  propositions  Rameau  déduit  immédiatement  l'nc- 
cord  ut  mi  sol  que  le  seul  sentiment  fait  appeler  parfait  : 
c'est  l'accord  parfait  majeur.  «  On  peut  donc  regarder  le 
chant  ut  mi  sol  comme  donné  par  la  nature  même  et  indé- 
pendamment de  tout  système  musical.  »  La  tierce  et  la  quinte 
majeures  sont  trouvées. 

^  oilà  qui  va  bien;  malheureusement  Rameau  ajoute  que 
tout  son  ne  fera  que  du  bruit  pour  ceux  qui.  par  défaut  de 
leur  oreille,  n'entendent  que  le  principal  sans  les  harmo- 
niques; il  énonce  là  une  proposition  fausse  qui  fera  le  plus 
grand  tort  à  son  système  devant  les  mathématiciens. 

Nous  avons  vu  que  Vut0  fait  frémir  les  cordes  fa0  et  tel,; 
d  où  le  nouvel  accord  fa  la'  ut,  accord  parfait  mineur,  où 
la  tierce  mineure  fa  la7  se  trouve  placée  avant  la  tierce  ma- 
jeure la  ut,  tandis  que  la  disposition  inverse  se  rencontre 
dans  l'accord  parfait  majeur  ut  mi  sol. 

Ceci  posé,  Rameau  établit  la  si  curieuse  théorie  de  !a  basse 
fondamentale.  Tout  accord,  quoique  composé  de  plusieurs 
sons,  doit  être  considéré  comme  formé  par  les  harmoniques 
d'un  son,  qui  fait  ou  non  partie  de  l'accord,  mais  qui  engendre 
cet  accord  et  lui  sert  de  basse  :  on  l'appelle  basse  fondamen- 
tale (b.  f.).  La  b.  f.  n'est  pas  nécessairement  le  son  le  plus 
bas  de  l'accord;  l'accord  ut  mi  sol  a  pour  b.  f.  Vut;  mais 
1  accord  sol  ut  mi,  renversement  du  premier,  a  la  même  b.  f. 
L'accord  sol  mi  a  encore  pour  b.  f.  Y  ut,  bien  que  cette  note 
ne  soit  pas  effectivement  dans  l'accord.  C'était  la  première 
fois  qu'on  appuyait  sur  de  bonnes  raisons  la  légitimité  et  la 
quasi-identité  des  renversements.  Deux  accords  son t harmo- 
nicjuement  identiques  quand  ils  ont  même  b.  f.  Du  coup  le 
nombre  des  accords  se  trouvait  réduit  dans  des  proportions 
étonnantes  et  l'harmonie  simplifiée  à  un  point  qu'on  n'eût 
pas  osé  espérer.  Rameau  étudie  les  lois  du  mouvement  de 
la  b.  f.  et  en  tire  tout  un  svstème  de  composition. 

On  peut  se  demander  pourquoi  Rameau  est  forcé  d'intro- 
duire comme  nouveau  principe  la  marche  de  la  basse  fon- 


58 


I  IIAI'I  I  III.     I\  . 


damentale.  C'esl  loul  simplement  parce  qu'il  ne  considère 
a, mine  perceptibles  parmi  les  harmoniques  d'un  son  que  le 
troisième  et  l«-  cinquième  formant  la  douzième  et  la  dix- 
septième.  Là  est  le  point  contestable  de  sa  théorie;  il  ignore 
que  les  octaves  f//3,  ///.,  .  .  .  -ont  aussi  faciles  à  distinguer, 
dans  le  sou  ut.,  d'une  corde,  que  le  sol3  el  le  mik,  et  qu'il  n'y 
a  pas  de  raison  pour  s'arrêtera  ce  ////..  Réduisant  le  son  com- 
plexe musical  ut  à  l'accord  parfait  ut  mi  sol,  il  est  bien  forcé 
de  considérer  plusieurs  séries  différentes,  et  par  conséquent 
de  déplacer  sa  b.  f.;  il  l'amène  par  exemple  au  sol,  ce  qui  lui 
fournit  le  nouvel  accord  parfait  sol,  si,  ré,  et  ainsi  de  suite. 
Déplaçant  sa  b.  f.  par  quintes,  soit  en  montant,  soit  en 
descendant,  lui  superposant  les  accords  parfaits  majeurs  et 
mineurs  déjà  obtenus,  Hameau  obtient  facilement  les  séries 
diatoniques  les  plus  usitées. 

Déplaçant  sa  b.  f.  par  tierces,  mettant  au-dessus  les  accords 
parfaits,  il  retrouve  le  mode  chromatique. 

11  est  à  peine  besoin  de  faire  observer  au  lecteur  la  beauté 
de  cette  construction  que  Helmholtz  n'a  pas  suffisamment 
louée.  Assurément  Helmholtz  entre  un  peu  plus  profondé- 
ment dans  les  phénomènes.  On  peut  se  demander  seulement 
s'il  fait  les  parts  bien  justes,  quand  il  dit  (p.  Soi),  après  un 
exposé  critique  si  succinct  qu'on  le  comprend  à  peine  :  «  Cette 
tentative  de  Rameau  et  de  d'Alembert  (celui-ci  n'a  d'autre 
mérite  que  d'avoir  exposé  clairement  le  système)  a  pourtant 
une  grande  importance  historique;  pour  la  première  fois,  la 
théorie  de  la  consonance  a  été  fondée  sur  une  base  scienti- 
fique el  non  métaphysique.  » 

30.  Idée  de  tonalité.  —  La  tonique  d'une  gamme,  d'après 
la  théorie  de  la  construction  de  la  gamme  diatonique  que 
nous  venons  d'exposer,  n'est  donc  plus  seulement  la  note  la 
plus  grave  et  la  note  la  plus  aiguë  de  la  gamme;  c'est  surtout 
le  son  musical  par  rapport  auquel  les  autres  sons  ont  été 
choisis  de  manière  à  présenter  avec  lui  les  plus  grandes  affi- 
nités. 

On  comprend  aisément  a  quel  point  diffère  notre  idée 
moderne  de  tonalité  dans  une  mélodie  de  l'idée  qu'on  s'en 
faisait  par  exemple  au  moyen  âge,  et  qui  se  traduit  par  les 
modes  de  plain-chanl. 


AFFINITÉ    DES    SONS.  59 

Supposons  écrites  plusieurs  octaves  consécutives  de  la 
gamme  diatonique  majeure  que  nous  venons  de  construire  : 

utv         réQ         mi0         fa0         sol{,         /a0         si0, 
iitt         ré\        mi\        fat         sol{         lax  .... 

Avons-nous  le  droit  de  faire  évoluer  la  mélodie  autour  d'une 
note  quelconque,  qui  <era  la  finale  de  ses  diverses  por- 
tions, qui  reviendra  souvent  au  cours  de  cette  mélodie?  Par 
exemple  pouvons-nous  choisir  le  ré  comme  tonique? 

Non,  d'après  les  considérations  précédentes;  car  ce  n'est 
pas  avec  le  ré  que  l'ensemble  des  autres  notes  a  les  plus 
grandes  affinités.  Oui,  pensaient  les  Grecs  et  le  moyen  âge,  la 
tonique  n'ayant  pour  eux  qu'un  rôle  de  finale  et  de  note  fré- 
quemment ramenée.  Le  mode 

ré         mi        fa         sol         la         si         ut         ré 

est  le  mode  dorien  des  Grecs  et  l'un  des  modes  essentiels  du 
plain-chant. 

Il  est  important  de  remarquer  toutefois  que  Terreur  des 
modes  du  plain-chant  importait  relativement  peu,  étant 
données  les  étroites  affinités  que  les  sons  de  la  gamme  dia- 
tonique ont  les  uns  avec  les  autres.  L'erreur  aurait  été  bien 
plus  grave,  si  l'on  avait  décomposé  par  exemple  l'octave  en 
\~  parties  égales,  car  la  parenté  entre  ces  divers  sons  eut  été 
radicalement  nulle  et  le  choix  d'une  tonique  absolument 
artificiel.  Malgré  tout,  ce  serait  une  singulière  erreur  que  de 
vouloir  ressusciter  les  modes  du  plain-chant  dont  l'imper- 
fection tonale  est  absolument  choquante  pour  une  oreille 
exercée. 

37.  Accords  parfaits  majeurs  et  mineurs.  —  Au  point  de 
vue  tonalité  l'accord  parfait  majeur  ut  mi  sol  ne  présente 
aucune  ambiguïté.  On  sait  immédiatement  où.  est  la  basse 
fondamentale:  ni  le  mi,  ni  le  sol  ne  peuvent  prétendre  à  ce 
rôle.  L'accord  évoque  donc  immédiatement  la  tonique  ut, 
quel  que  soit  son  renversement. 

Il  n'en  est  plus  de  même  de  l'accord  parfait  mineur  ut 
mi  y  sol.  Les  sons  ut  et  mip  n'étant  parents  que  par  l'inter- 
médiaire du  sol,  l'idée  de  l'ut  comme  tonique  ne  s'impose 
pas.  D'après  la  manière  dont  Rameau  obtient  i'accord  mineur, 


6o  CHAPITRE    IV. 

il  serait  rationnel  «le  le  considérer  d'une  manière  inverse  de 
l'accord  majeur.  //  serait  obtenu  au-dessous  de  la  fonda- 
mentale et  non  plus  au-dessus  ;  la  fondamentale  serait  alors 
le  sol. 

Il  v  ;t  une  1res  réelle  difficulté  ?ur  laquelle  nous  ne  pou- 
vons insister.  Helmhollz  remarque  que  cet  accord  corres- 
pond si  j je  11  à  une  idée  précise  de  tonalité  que  les  auteurs 
du  \v:m''  siècle,  qui  onl  commencé  à  l'employer  comme  ter- 
minaison, dissimulent  toujours  la  tierce. 

38.  Mode  du  plain-chant.  —  Quoi  qu'il  en  soit  de  l'imperfec- 
tion tonale  des  modes  du  plain-chant,  il  est  nécessaire  d'en 
dire  quelques  mots  parce  qu'on  en  parle  beaucoup  et  qu'ils 
éclairent  par  contraste  l'idée  classique  de  tonalité.  Ils  uti- 
lisent tous  la  série  diatonique  fixée  ci-dessus.  Ils  se  classent 
en  authentiques  et  en  plagaux  par  la  position  de  la  note 
finale  jouant  le  rôle  d'une  tonique  rudimentaire,  po.-ition 
par  rapport  : 

i°  A  la  série  diatonique  des  sons; 

2°  A  la  série  des  sons  utilisés  dans  le  morceau. 

Ainsi  Ton  chante  dans  le  mode  authentique  de  ré  (qui 
correspond  au  dorien  grec)  en  utilisant  les  sons  : 

RÉ  =  mi  — fa  =  sol  =  la  =  si  —  ut  =  ré 

avec  la  condition  que  la  finale  occupe  le  plus  bas  degré  du 
chant.  Cette  condition  donne  une  importance  particulière 
au  ré,  en  fait  une  sorte  d2  tonique;  l'effet  d'une  mélodie 
utilisant  notre  série  diatonique  majeure,  mais  évoluant,  non 
plus  par  rapport  à  Vut,  mais  au-dessus  de  ré  ramené  fré- 
quemment comme  finale  non  seulement  du  morceau,  mais 
des  diverses  phrases,  devient  entièrement  différent  d  une 
mélodie  en  ut. 

On  chante  dans  le  mode  plagal  correspondant,  quand  le 
chant  descend  à  trois  degrés  plus  bas  que  la  finale,  c'est- 
à-dire  jusqu'à  la  dominante.  La  finale  est  encore  le  ré  (  mode 
hrpodorien  des  Grecs),  mais  la  série  utilisée  est  : 

la  —  si  —  ut  =  RÉ  —  mi  —  fa  —  sol  —  la. 
Celui  qui  donnait  le  ton  au  chœur  devait  savoir  discerner 


AFFINITÉ    DES    SONS.  6l 

les  Ions  ou  modes  authentiques  el  plagaux  :  si  le  chant  est 
dans  un  ton  plagal,  il  doit  prendre  la  finale  dans  le  méJium 
de  la  voix;  si  le  ton  est  authentique,  il  doit  la  prendre  dans 
le  bas. 

"\  oici  les  S  modes  principaux,  avec  leurs  noms  grecs.  La 
finale  est  écrite  en  majuscules  : 

Dorien RE,      mi,  fa.    sol.       (la),  si,        ut,      ré. 

Ilypodorien la,        si,      ut,    RÉ,      ?ni.     (fa),  sol,     la. 

Phrygien 1//,      fa,    sol.   la,        si,       (ut),    ré,       mi, 

Hypophrygien si,         ut,    ré,    MI,      fa.      sol,     (la),  si. 

Lydien FA.      sol,    la,    si.  (ut),   ré,       mi,      fa. 

Hypolydien ui,        ré,    mi,   FA,      sol.    (la),    si,       ut. 

Mixolydien SOL,   la,    si,      ut,        (ré),   mi,     fa,      sol. 

Hypomixolydien . ..     ré,        mi,  fa,    SOL,  la,     si,       (ut),  ré. 

Le  mode  dorien  et  le  mode  hypomixolydien  semblent  iden- 
tiques, comme  utilisant  les  mêmes  notes;  il  n'en  est  rien.  Le 
dorien  a  ré  pour  finale,  le  ramène  fréquemment;  le  ré  v  sert 
de  refrain.  C  est  le  sol,  dans  le  mode  hypomixolydien. 

Remarque  curieuse,  il  manque  précisément  dans  ces  modes 
les  gammes  qui  correspondent  à  nos  modes  majeurs  et  mi- 
neurs. Ils  n'ont  été  employés  qu'à  partir  du  xvie  siècle  sous 
les  noms  d'ionien  et  d'éolien;  les  voici  avec  les  plagaux 
correspondants  : 

Ionien UT,  ré,    mi.  fa,     (sol),   la,       si,      ut. 

Hypoionien sol,    la,    si,      UT,   ré.       (mi),  fa,    sol. 

Éolien LA,  si.     ut,    ré,     (mi),  fa,      sol,  la. 

Hypoéolien mi,    fa,  sol.   LA,  si,        (ut),    ré.    mi. 

On  appelle  dominante  dans  le  plain-chanl  la  note  que  l'on 
retrouve  le  plus  souvent  en  dehors  de  la  tonique  ou  finale. 
Dans  les  modes  authentiques  la  dominante  est  au  cinquième 
degré,  comme  dans  nos  modes  modernes.  Dans  les  modes 
plagaux.,  elle  est  au  sixième  degré.  Dans  le  Tableau  précé- 
dent, la  dominante  est  entourée  de  parenthèses. 

Il  v  a  des  exceptions  à  ces  règles  qui  tiennent  à  ce  que  les 
musiciens    anciens    n'admettaient  pas    le    triton    (intervalle 


6a  CHAPITRE    IV. 

,1,.  trois  tonSj  diabolus  in  musicâ),  soit  comme  quarte 
augmentée 

(fa  =  sol  —  la  —  si), 

soit  comme  quinte  diminuée 

(si  —  ut  =  ré  =  mi— fa). 

Aussi  craignaient-ils  le  si  qui  commence  ou  termine  ces 
intervalles.  Toutes  les  fois  que  Tune  des  principales  notes  du 
mode  est  un  si,  ils  rejettent  cette  noie  et  lui  substituent  le 
degré  au-dessus.  Dans  le  mode  phrygien,  la  dominante 
devient'  ut  ;  elle  devient  la  dans  le  mode  hvpophrvgien, 
puisqu'elle  doit  rester  à  la  sixte  de  la  note  la  plus  basse 
qui  devient  Yut.  Dans  l'hypomixolydien,  c'est  Vut  qui  est 
dominante. 


AFFINITE    DES    SONS. 


G3 


ABLEAU    GENERAL   DES    HAUTEURS    DES    SONS    DANS    L  ECHELLE    DES    PHYSICIENS. 


Gamme  rationnelle. 


i'j  PIEDS      S   PIEDS 

utt  —  sit.  \utf  —  sit. 


02 

36 
38,4 

4° 

48 

53. 3 
56 
6o 


64 

-2 

76,8 

8o 

85.5 

96 
106,6 


4    PIEDS 
llt^  —  SU 


128 

*44 

i53.6 
160 

'71 
192 
210.2 


22 


2    T1EDS 

;/^3  —  siy\utt 


PIED 

—  si 


256 

2SS 

307 , 2 

020 

342 

384 

426,5 

443 

48o 


01 2 
576 

6i4 

640 
683 
76S 
S53 
896 
960 


ut,  —  si. 


1020, 
Il  52 

1229 

1280 

i365 

i536 
1706 
179a 

IQ20 


\\   PIED 

ut.— si.. 


2048 
23o4 
2^58 
2060 
2731 
3072 
34i  3 
3584 
384o 


Gamme  tempérée. 


ut0 —  sit.\ut,  —  sit 


oj.  9 
4o.3 

(2.7 

4:-9 
53.8 
60.5 


64 

80.7 
85.4 
95,8 
107 ,6 
12. 1 


utn  —  su 


128 

1 4  3 , 5 

161. 3 
170,8 

'9'.  7 
2i5.3 
242 


256 

2S7 

022.5 

34 1 .5 

383 .5 

430.5 

483 


utk  —  sit.  ut^ — si5 .  ulE 


0)2 
575 
645 

683 

767 
861 
966 


1024 
1  i5o 
1290 
1067 
1 535 
1722 
iqo3 


2048 
2299 

a58o 

2734 

3o6g 

3444 
3866 


64  CHAPITRE     v 

CHAPITRE  V. 

CONSONANCES   ET    DISSONANCES. 

30.  Consonances  et  dissonances.  —  Nous  .'liions  irai  ter 
un  problème,  1res  analogue  à  celui  du  Chapitre  précédent; 
nous  retrouverons  des  conclusions  toutes  semblables. 

Demandons-nous  à  guel/e  condition  un  accord  est  con- 
sonant. 

On  appelle  accord  la  réunion  de  plusieurs  sons;  pour 
qu'un  accord  puisse  être  consonant,  il  faut  évidemment  que 
les  sons  qui  s'y  trouvent  soient  deux  à  deux  consonanls; 
la  condition  est  nécessaire,  elle  peut  ne  pas  être  suffisante. 
Le  premier  problème  à  résoudre  est  donc  le  suivant  :  à 
quelle  condition  un  accord  de  deux  sons  est-il  consonant? 

Il  est  clair  que  la  solution  de  ce  problème  suppose  une 
définition  de  la  consonance,  la  découverte  d'un  principe 
qu'il  suffit  ensuite  d'appliquer,  llelmliollz,  après  un  grand 
nombre  de  philosophes  et  de  physiciens,  pose  le  suivant  :  la 
consonance  est  une  sensation  continue,  la  dissonance  une 
(/  impression  intermittente.  Dans  de  telles  matières  il  est  dif- 
ficile de  contester  un  principe  dont  l'énoncé  est  nécessaire- 
ment vague:  la  discussion  commence  au  moment  où  l'on 
cherche  à  l'appliquer  quantitativement.  Helmholtz  ramène 
l'étude  de  cette  continuité  ou  de  cette  discontinuité  de  la 
sensation  à  l'étude  des  battements  qui  résultent  des  sons 
fondamentaux,  de  leurs  harmoniques  et  de  leurs  sons  ré- 
sultants. Il  ne  reste  plus  qu'à  chercher  dans  quel  cas  et  avec 
quelle  intensité  les  battements  peuvent  se  produire  dans 
toutes  les  combinaisons  possibles.  Si  celte  discussion  aboutit 
à  retrouver  les  consonances  et  les  dissonances  sur  lesquelles 
les  musiciens  sont  d'accord,  il  y  aura  des  chances  pour  que 
le  principe  admis  et  la  manière  de  l'appliquer  soient  égale- 
ment légitimes. 

Le  principe  n'est  pas  neuf;  dans  Y  Histoire  de  l'Académie 
des  Sciences  pour  j~oo,  à  la  fin  d'un  Mémoire  de  Sauveur  sur 
le  son  fixe  (son  de  joo  vibrations  à  la  seconde  qu'il  déter- 
minait par  les  battements,  §  ;23),  on  lit  :  «  Les  battements  ne 
plaisent  pas  ;'i   l'oreille,  à  cause  de   l'inégalité  du  son,  et  l'on 


CONSONANCES    ET    DISSONANCES.  65 

peut  croire  avec  beaucoup  d'apparence  que  ce  qui  rend  les 
octaves  si  agréables,  c'est  qu'on  n'y  entend  jamais  de  batte- 
ments. 

»  En  suivant  cette  idée,  on  trouve  que  les  accords  dont  on 
ne  peut  entendre  les  battements  sont  justement  ceux  que 
les  musiciens  traitent  de  consonances  et  que  ceux  dont  les 
battements  se  font  sentir  sont  les  dissonances.  Quand  un 
accord  est  dissonance  dans  une  certaine  octave  et  conso- 
nance dans  une  autre,  c'est  qu'il  bat  dans  l'une  et  ne  bat  pas 
dans  l'autre...  Si  cette  hypothèse  est  vraie,  elle  découvrira 
la  véritable  source  des  règles  de  la  composition.  » 

Le  grand  mérite  de  Helmholtz  est  d'avoir  complété  la 
théorie  de  Sauveur  par  la  considération  systématique  des 
battements  des  harmoniques  et  des  sons  résultants. 

kO.  Dissonances  dues  aux  battements  des  sons  eux- 
mêmes.  —  Nous  avons  dit  au  paragraphe  24-  qu'en  augmen- 
tant peu  à  peu  le  nombre  de  battements  par  seconde  on 
arrive  à  ne  plus  distinguer  les  différents  coups;  les  sons 
interférents  deviennent  alors  roulants  et  durs.  Nous  avons 
aussi  fait  observer  que  l'effet  physiologique  des  battements 
dépend  non  seulement  de  leur  nombre,  mais  aussi  de  l'inter- 
valle des  sons  qui  interfèrent,  ou,  ce  qui  revient  au  même, 
de  leur  hauteur  absolue. 

Le  caractère  de  dureté,  la  dissonance,  varie  donc  avec  le 
nombre  des  battements  et,  pour  un  nombre  de  battements 
donné,  avec  la  position  des  sons  dans  l'échelle  musicale. 
On  peut  dire  que  d'une  manière  générale  les  battements 
lents  (d'une  fréquence  de  l'ordre  de  10  par  seconde)  four- 
nissent un  roulement,  un  ronflement,  une  dureté  lourde;  les 
battements  rapides  (d'une  fréquence  de  l'ordre  de  3o  par 
seconde  ou  davantage)  donnent  à  l'accord  une  dureté  per- 
dante et  criarde. 

Par  exemple  l'accord  si3  (4§o)  uti  (012)  fait  32  balte- 
nents  :  le  son  est  aigre  et  sifflant.  L'accord  st4  ut5  fait 
34  battements;  l'impression  est  criarde  et  pénétrante, 
beaucoup  plus  désagréable  que  l'impression  due  à  l'ac- 
:ord  si\  ut^  qui  fournit  le  même  nombre  de  battemeuts  mais 
[ni  correspond  à  un  intervalle  plus  grand. 

Scientia,  n"  "28.  --  5 


66  CHAPITRE    v. 

Si  donc  les  inten  ailes  de  seconde  et  de  demi-tons  sonl  parti- 
culièrement désagréables,  c'est  qu'ils  fournissent  des  batte- 
ments nombreux.  Il  peu!  paraître  étrange  qu'on  fasse  inter- 
venir dans  la  théorie  de  la  consonance  des  battements  dont 
le  nombre  peut  être  égal  ou  supérieur  à  ioo.  Il  ne  faut  pas 
oublier  que  l'oreille  est  éminemment  propre  à  reconnaître 
de  très  petits  intervalles  de  temps.  Quand  deux  pendules 
oscillent  l'un  à  côté  de  l'autre,  l'oreille  apprécie  la  coïnci- 
dence des  battements  à  ^  de  seconde  prés.  Il  n'est  donc 
pas  étonnant  que  l'oreille,  sa/is  pouvoir  compter  ni  per- 
cevoir isolément  les  battements  de  l'ordre  de  ioo  à  la  se- 
conde; considère  cependant  la  sensation  de  l'accord  comme 
discontinue  et  en  éprouve  une  impression  désagréable. 

On  admet  que  pour  les  sons  simples  le  maximum  de 
dureté  correspond  à  2,1  battements  par  seconde.  Pour  un 
nombre  moindre,  l'oreille  commence  à  percevoir  les  coups  sé- 
parément; la  masse  sonore  devient  moins  confuse.  Bien  que 
l'impression  de  chevrotement  ne  soit  j}as  agréable,  nous  com- 
mençons à  saisir  la  cause  du  tremblement;  d'où  une  notable 
diminution  psycholog  iq  ue  de  dureté.  Pour  un  nombre  de  bat- 
tements plus  grand  que  2i  à  la  seconde,  la  sensation  tend  à 
devenir  continue,  d'où  une.  nouvelle  diminution  de  dureté. 

Bien  entendu,  dans  le  grave,  on  n'obtient  ce  nombre  de 
battements  que  pour  des  intervalles  considérables.  Plus 
exactement  on  n'obtient  pas  de  battements  aussi  rapides, 
l'intervalle  devenant  trop  grand;  il  faudrait  en  effet  que  les 
sons  -d0  et  utx  par  exemple  agissent  sur  les  mêmes  résona- 
teurs auriculaires  pour  fournir  32  battements  à  la  seconde. 
Mais  de  grands  intervalles  comme  la  tierce  majeure  natu- 
relle (f)  ou  la  tierce  mineure  naturelle  (|)  fournissent  des 
battements  lents  qui  font  de  ces  intervalles  des  accords  peu 
harmonieux,  d'une  dureté  pesante  et  d'un  effet  pâteux. 

il.  Battements  des  harmoniques  de  deux  sons  musi- 
caux. —  Si  la  dissonance  est  due  à  l'existence  de  battements 
nombreux,  produits  par  des  sons  agissant  simultanément  sur 
les  mêmes  résonateurs  auriculaires,  il  va  de  soi  que  deux 
sons  simples  faisant  un  intervalle  suffisant  ne  peuvent  pas 
don/ter  d'accords  dissonants,  non  pas  seulement  parce  que 
les  battements  sont  trop  nombreux,  mais  surtout  parce  que 


CONSONANCES    ET    DISSONANCES.  6/ 

les  deux,  sons  n'agissent  pas  simultanément  sur  les   mêmes 
résonateurs  auriculaires. 

De  fait,  si  nous  prenons  des  sons  quelconques  aux  deux 
bouts  du  clavier,  nous  sommes  en  peine  pour  trouver  qu'ils 
forment  plutôt  une  consonance  qu'une  dissonance. 

L'explication  des  dissonances  des  grands  intervalles  doit 
être  cherchée  dans  les  dissonances  des  petits  intervalles  que 
forment  leurs  harmoniques.  En  définitive,  suivant  Helmholtz , 
ne  peuvent  être  dissonants  que  les  sons  situés  à  des  inter- 
valles assez  petits  pour  agir  simultanément  sur  Les  mêmes 
résonateurs  auriculaires.  Appliquons  ces  principes. 

Il  se  produit  des  battements  chaque  fois  qu'un  des  harmo- 
niques de  l'un  des  sons  est  assez  voisin  d'un  harmonique  de 
l'autre.  Leur  netteté  augmente  avec  l'amplitude  des  harmo- 
niques; ils  ne  seront  donc  généralement  perceptibles  que 
pour  les  harmoniques  inférieurs. 

Emettons  simultanément  les  sons  ut^  et  ut.2  supposés  mu- 
sicaux, c'est-à-dire  accompagnés  d'harmoniques  ;  si  l'octave 
est  exacte,  nous  n'entendons  pas  de  battements.  Car  l'harmo- 
nique ut*  de  utt  coïncide  exactement  avec  ut*.  .Mais  émet- 
tons les  sons  utt  et  sit  :  c'est  exactement  au  point  de  vue 
des  battements  comme  si  nous  émettions  six  et  ut»,  le  second 
harmonique  de  utr  étant  ut.2.  Dans  la  gamme  naturelle  et 
l'échelle  des  physiciens,  nous  entendons  8  battements  à  la 
seconde;  nous  en  entendrons  7  dans  la  gamme  tempérée  et 
l'échelle  des  physiciens. 

Emettons  simultanément  les  sons  ut3  et  sol%  à  la  quinte 
naturelle  (f)  l'un  de  l'autre;  pas  de  battements.  Voici  en 
eflet  la  série  des  harmoniques 

ut  3        .        ut;     sol;     ut-a       ,       mih 

S0I3  sol;  réi  sol-a 

Seuls  les  battements  entre  rés  et  uth  ou  mi5  pourraient  se  pro- 
duire; mais  il  s'agit  de  sons  partiels  déjà  élevés  et  par  con- 
séquent d:intensité  petite  :  il  y  aurait  28  battements  par 
seconde. 

Mais,  si  la  quinte  est  fausse,  les  battements  se  produisent 
entre  les  deux  sol;,  ils  sont  intenses  et  l'accord  devient 
désagréable. 


~r—-l 


f>8 


CHAPITRE    V 


Soient  par  exemple  les  primaires  re3(288)  et  /a3(49.6.5) 

dans  la  gamme   naturelle  (je  prends  toujours  l'échelle  des 

physiciens).  La  quinte  n'est  plus  la  quinte  naturelle  ,  ( 1 760, i)^  ; 

.    ,  .  .      5     q       4o        . 

mais  la  quinte  un   peu  plus  petite  77  :  %  =  — >  soit  no7  -  - 
r  6     8       27  '     *'  •'" 

elle  diffère  d'un   comma   de  la   quinte   naturelle.   Voici  les 

harmoniques 

re3  re\  lak 

la3  /a; 

Or  le  lak  harmonique  de  ré3  fait  288  x  3  =  864  vibrations- 
tandis  que  (lai)  harmonique  de  la3  fait  /j26,5  x  2  =  853  vi- 
brations. Il  y  a  11  battements  par  seconde.  La  quinte  fausse 
ré3  la3  de  la  gamme  naturelle  n'est  donc  pas  un  intervalle 
consonant. 

Raisonnant  de  même,  nous  trouvons  que  la  douzième  natu- 
relle (intervalle  3)  est  un  intervalle  parfaitement  consonant- 
il  n'y  a  pas  de  battements  des  harmoniques. 

42.   Audition  des  battements  des  harmoniques.  —  Avant 
d'aller  plus  loin  dans  l'étude  des  consonances,   présentons 
quelques  remarques  générales.  Quand  on  émet  deux  sons  air 
hasard  sur   un    instrument   à  sons   musicaux  possédant  des  • 
harmoniques  intenses,  l'harmonium  par  exemple,  on  entend  j 
presque  toujours  des  battements,  à  moins  que  les  sons  ne  . 
fassent  un  intervalle  très  supérieur  à  une  octave. 

Il  est  donc  facile  d'entendre  les  battements;  il  ne  l'est 
pas  de  distinguer  quelles  sont  les  parties  de  l'ensemble  so- 
nore  qui  battent.  Le  problème  est  exactement  le  même  que 
celui  de  l'audition  des  harmoniques  comme  sons  distincts 
dans  un  son  musical.  On  emploie  pour  s'exercer  les  mêmes 
artifices  que  pour  les  harmoniques,  en  particulier  les  réso- 
nateurs. 

Il  peut  arriver  que  plusieurs  des  harmoniques  de  l'un  des 
sons  se  trouvent  suffisamment  rapprochés  de  plusieurs  har- 
moniques de  l'autre  son  pour  donner  plusieurs  systèmes  de 
battements.  Par  exemple,  si  deux  harmoniques  battent,  leurs 
octaves,  qui  sont  aussi  des  harmoniques,  battent  avec  un 
nombre  double  de  coups  par  seconde;  mais  ces  octaves 
sont  généralement  beaucoup  moins  intenses,  circonstance 
qui  permet  de  distinguer  les  deux  systèmes. 


CONSONANCES    ET    DISSONANCES.  69 

L'explication  de  la  dureté  d'un  accord  s'applique  exacte- 
ment à  la  dureté  d'un  son  unique  dont  les  harmoniques  su- 
périeurs sont  assez  intenses.  Ces  harmoniques  battent  entre 
■eux  et  fournissent  des  dissonances  appréciables.  Reprenons 
par  exemple  les  harmoniques  de  Vut, 

uli     ut3     sol3     u(<,     mi\     soli,     si\     ut-a 

Le  si[  fait  896  vibrations,  V  uts  en  fait  1024  ;  il  y  a  donc 
128  battements  à  la  seconde;  d'où  une  dureté  possible  si  l'on 
jie  supprime  pas  l'harmonique  7.  On  sait  que  les  marteaux 
du  piano  attaquent  la  corde  au  septième  de  sa  longueur;  on 
supprime  ainsi  le  son  ~  qui  a  un  nœud  en  ce  point  et  l'on 
•évite  l'intervalle  dissonant  de  ton. 

Pour  comprendre  le  bien  fondé  de  l'hypothèse  de  Helm- 
holtz,  rien  ne  vaut  l'étude  des  sons  d'un  harmonium;  ils 
sont  riches  en  harmoniques  et  indéfiniment  tenus  avec  une 
intensité  constante.  Qu'on  donne  par  exemple  l'octave  ut3  uti} 
puis  les  intervalles  ut3  si3  et  ut3  ré\,  on  constatera  immé- 
diatement le  caractère  calme,  inlroublé  de  l'octave,  par  com- 
paraison avec  les  autres  intervalles  durs,  cascadants,  ana- 
logues, et  pour  la  même  raison,  à  un  bruit  de  crécelle.  Les 
battements  des  harmoniques  (ici  32  à  la  seconde)  sont  à  la 
limite  d'être  perçus  séparément  :  ils  donnent  à  l'accord  une 
dureté  particulière. 

i3.  Classification  générale  des  intervalles  consonants. 
—  Voici  comment  Helmholtz  résume  sa  théorie  (p.  248).  Si 
deux  sons  musicaux  résonnent  simultanément,  l'accord  qu'ils 
forment  est  généralement  troublé  par  des  battements  des 
harmoniques,  en  sorte  qu'une  plus  ou  moins  grande  partie 
de  la  masse  sonore  produit  des  secousses  discontinues.  L'ac- 
cord devient  dur,  il  y  a  dissonance. 

Mais,  pour  certains  rapports  entre  les  hauteurs  des  fonda- 
mentaux, il  n'y  a  pas  de  battements  ou  les  battements  sont 
très  faibles,  se- produisant  entre  des  harmoniques  peu  in- 
tenses. Ces  cas  exceptionnels  s'appellent  consonances.  On 
peut  les  classer  de  la  manière  suivante  : 

i°  Consonances  absolues.  L'unisson  (1),  Voctave  (2),  la 
douzième  (3),  la  double  octave  (4). 

Tous  les  harmoniques  du  son  le  plus  haut  coïncident  avec 


CHAPITRE    V. 


les  harmoniques  du  son  le  plus  bas  pris  de  i  en  i,  de  2  en  2 
de  3  en  3,  etc.  Donc  l'existence  des  harmoniques  n'ajoute 
aucun  élément  de  dureté  :  si  les  fondamentaux  sont  exacte- 
ment  dans  les  rapports  indiqués,  les  harmoniques  ne  bat- 
tent pas. 

20  Consonances  parfaites.  —  Ce  sont  la  quinte  (3  :  2)  et 
la  quarte  (4  :  3). 

Nous  avons  déjà  vu  que,  si  la  quinte  est  naturelle,  les 
battements  ne  peuvent  se  produire  qu'entre  les  quatrième  et 
cinquième  harmoniques  du  son  le  plus  grave,  et  le  troisième 
du  son  le  plus  aigu;  les  intensités  de  ces  harmoniques  sont 
déjà  faibles  et  l'intervalle  qu'ils  font  est  d'un  ton  :  circon- 
stances qui  diminuent  leur  rôle  désagréable. 

La  qiarte  est  une  consonance  moins  parfaite  que  la  quinte. 
Voici  les  harmoniques  : 


ut  s 


utL 


soli,     ut  s     mû 


/«3 


/«; 


ut* 


/«£ 


Il  y  a  intervalle  de  ton  entre  le  troisième  harmonique  du  son 
le  plus  grave  et  le  second  du  son  le  plus  aigu,  et  intervalle 
de  demi-ton  entre  les  sons  fah  et  mi6.  Pour  l'octave 
choisie,  les  intervalles  fak  solw  et  fa-  mis  donnent  l'un  et 
l'autre  85  battements.  Le  principal  avantage  de  la  quarte  est 
de  donner  la  quinte  par  son  renversement,  ou  si  l'on  veut 
d'être  le  complément  de  la  quinte  pour  former  l'octave. 

3°  Consonances  moyennes.  —  Elles  comprennent  la  sixte 
majeure  (5  :  3)  et  la  tierce  majeure  (5  :  4). 


Tierce  majeure. 
uh        .       ut^        .       soli,       .      ut&     mit 

mi3  mik  si.,  mi& 

Déjà  il  peut  y  avoir  battements  directs  entre  les  fonda- 
mentaux. Aussi  dans  le  grave  les  tierces  mêmes  naturelles 
ne  sonnent-elles  pas  très  bien.  Dans  le  haut  les  battements 
deviennent  nombreux  et  l'intervalle  est  meilleur. 


CONSONANCES   ET    DISSONANCES.  /I 

Sixte  majeure. 
ut3       .       ut±     soîit       .       uts     mib 

la3  la,, 

Le  fondamental  la3  donne  l'intervalle  de  tierce  mineure  et 
des  battements  relativement  dangereux;  le  second  harmo- 
nique la±  donne  l'intervalle  de  ton.  Nous  nous  rapprochons 
donc  des  dissonances. 

4°  Consonances  imparfaites.  Tierce  mineure  (6:5). 
Sixte  mineure  (8  !  5).  —  Ce  sont  les  renversements  des 
intervalles  précédents. 

Tierce  mineure. 
ut3        .        utk        .        sol,,       .       ut5        .        mi3     50/5 

mi3  mi]  si\  mil  sol$ 

Sixte  mineure. 
ut3       .        ut,,      sol±       ,       ut-0        .        mis      S0l5       ■        sf-      ut6 

la\  la\  mi\  fas        ;       utz 

Dans  le  grave  les  tierces  mineures  donnent  des  battements 
peu  nombreux.  Déjà  dans  le  médium  l'accord  ul3  mi^  pro- 
duit 5i  battements  par  seconde.  Quant  à  la  sixte,  le  second 
harmonique  du  son  aigu  fait  un  demi-ton  avec  le  troisième 
du  son  grave,  d'où  un  nombre  de  battements  du  même  ordre. 

Ce  qui  précède  suffit  amplement  pour  comprendre  les  bases 
de  la  théorie  rie  Helmholtz.  11  l*a  complétée  en  introduisant 
les  battements  des  sons  résultants,  qui  ne  sont  pas  négli- 
geables quand  les  sons  primaires  sont  intenses.  Nous  ne  pou- 
vons dans  ce  court  volume  entrer  dans  des  détails  pour 
lesquels  nous  renvoyons  à  la  Théorie  physiologique  de  la 
musique.  On  y  trouvera  la  discussion  complète  de  la  hiérar- 
chie des  consonances. 

Pour  des  accords  de  plus  de  deux  sons,  la  théorie  est. la 


aiU'l'IHK    V 


même;  il  faut  que  chaque  accord  partiel  soil  une  consonance; 
mais  la  condition   n'est  pas  suffisante  (voir   un   exemple  au    • 
$  3).l  Helmhollz  parvient  à  expliquer  les  résultats  généraux 
des  Traités  d'Harmonie  ('). 

hk.  Continuité  de  la  consonance  et  de  la  dissonance.  Rôle 
du  timbre.  Instruments  à  vent.  —  D'après  la  théorie  pré- 
cédente on  ne  peut  pas  séparer  par  une  barrière  les  conso- 
nances des  dissonances;  entre  les  unes  elles  autres  il  existe 
une  série  continue  de  degrés,  d'accords  dont  la  dureté  aug- 
mente progressivement.  Conformément  à  cette  conclusion  et 
malgré  les  classifications  usitées,  la  limite  entre  les  inter- 
valles  consonants  et  dissonants  a  singulièrement  varié  au 
cours  des  temps.  Les  Grecs  considéraient  la  tierce  comme 
1  une  dissonance;  il  est  vrai  qu'ils  ont  souvent  employé  la 
tierce  pythagoricienne  (voir  §  56),  qui  correspond  au  rap-  . 
port  81  I  64,  et  qui  est  nettement  une  dissonance.  La  double 
octave  du  fondamental  le  plus  haut  bat  avec  le  cinquième 
harmonique  du  fondamental  le  plus  bas.  Mais  ils  ont  aussi 
connu  la  tierce  naturelle  qui  n'est  pas  elle-même,  si  l'on 
veut,  un?  consonance  parfaite.  De  même  les  tierces  mineures 
ne  sont  considérées  comme  des  intervalles  consonants  que 
depuis  un  petit  nombre  de  siècles. 

Conformément  encore  à  la  théorie,  le  degré  de  dureté  des 
accords  varie  singulièrement  avec  le  timbre  des  sons  uti- 
lisés. Pour  les  grands  tuyaux  bouchés  de  l'orgue  qui  émet- 
tent un  son  très  approximativement  simple,  il  n'y  a  guère 
que  l'intervalle  de  demi-ton  et  de  ton  qui  soient  des  disso- 
nances. Les  octaves  fausses  et  les  intervalles  voisins  de 
l'octave,  si  abominables  sur  l'harmonium  et  même  sur  le 
piano,  ont  une  douceur  relative.  Quand  on  joue  sur  le 
registre  bouché  de  l'orgue  des  compositions  à  plusieurs  par- 


(')  Ce  n'est  pas  l'opinion  de  nombreux  musiciens  qui  ont  écrit  sur 
la  musique.  Malheureusement  ils  ne  se  rendent  pas  un  compte  exact 
u  rôle  et  de  la  nature  d'une  théorie  physique.  Ils  prennent  pour  des 
explications  scientifiques  des  opinions  esthétiques.  Ils  ont  toujours 
à  la  bouche  le  sens  artistique,  le  sentiment  musical,  données  sur 
lesquelles  il  est  juste  possible  de  construire  une  théorie  métaphysique. 
Je  ne  veux  pas  dire  que  tout  soit  parfait  dans  la  théorie  d'HelmhoItz, 
mais  c'est  la  seule  théorie  physique  que  nous  ayons. 


CONSONANCES    ET    DISSONANCES.  78 

ties,  présentant  les  dissonances  les  plus  mordantes,  tout 
résonne  avec  la  même  harmonie  ;  mais  c'est  vague,  ennuyeux 
et  mou.  Rien  ne  montre  mieux  l'importance  du  rôle  des  har- 
moniques, et  par  conséquent  du  timbre,  dans  la  notion  de 
dissonance. 

Les  instruments  dont  le  timbre  se  rapproche  le  plus  de 
celui  des  grands  tuyaux  bouchés  sont  les  flûtes  etlejeu  de 
flûtes  de  l'orgue  (tu vaux  ouverts  où  l'air  arrive  sans  force). 
On  y  entend  l'octave  et  la  douzième.  Les  intervalles  par- 
faitement consonants  y  sont  mieux  définis,  leur  altération 
amenant  aussitôt  une  dissonance  sensible.  Les  intervalles 
moyennement  et  imparfaitement  consonants  sont  encore 
mal  déterminés;  on  démontre  en  effet  la  règle  suivante  : 
un  intervalle  est  faussé  d' une  manière  d'autant  plus  désa- 
gréable, les  battements  y  produisent  tout  de  suite  une 
dureté  d'autant  plus  appréciable,  qu'ils  sont  plus  parfaits. 
Helmholtz  rappelle  le  proverbe  qu'il  n'y  a  rien  de  plus 
effravant  pour  l'oreille  qu'un  solo  de  flûte,  si  ce  n'est  un  duo 
de  flûtes.  Mais,  associée  à  d'autres  instruments  qui  font  res- 
sortir l'enchaînement  de  l'harmonie,  la  flûte  est  irrempla- 
çable grâce  à  la  charmante  douceur  de  son  timbre. 

Les  tuvaux  ouverts  de  l'orgue,  quand  on  pousse  le  vent, 
surtout  quand  on  les  associe  avec  leurs  octaves,  donnent  un 
son  suffisamment  pourvu  d'harmoniques  pour  que  les  disso- 
nances y  deviennent  particulièrement  tranchées. 

Les  petits  tuyaux  bouchés  (qui  n  ta  ton  )  où  les  harmoniques 
impairs  sont  intenses,  font  la  transition  avec  les  tuyaux  à 
anches,  particulièrement  riches  en  sons  partiels,  et  enfin 
avec  les  jeux  de  fourniture  ou  de  mutation.  Dans  ces  der- 
niers on  sait  qu'à  chaque  tuyau  est  adjointe  une  série  plus 
ou  moins  nombreuse  de  tuyaux  donnant  les  divers  harmo- 
niques ou  leurs  octaves.  Dans  le  nazard  (deux  rangs  de 
tuyaux)  on  adjoint  la  quinte  au  fondamental;  dans  le  cornet 
(trois  rangs)  on  adjoint  la  tierce  et  la  quinte. 

Citons  pour  mémoire  les  jeux  discordés  {voix  humaine, 
voix  céleste)  où  l'on  fausse  l'unisson  par  l'emploi  de  deux 
tuyaux  qui  battent  et  dont  l'effet  est  profondément  épou- 
vantable. 

Les  sons  de  la  voix  humaine  sont  accompagnés  d'harmo- 
niques graves  relativement  forts;  aussi  donnent-ils  des  con- 


r 

-^  CHANTRE   v. 

sonances  el  dissonances  bien  marquées.  Les  accords  ne  sont 
beaux  qu'avec  h-s  intervalles  justes,  ce  qui  arrive  rarement, 
parce  que  les  chanteurs  sont  habitués  à  l'accompagnement 

d'instruments  accordés  suivant  le  tempérament  égal. 

ko.   Consonances  et  dissonances  sur    les  instruments   à 
cordes.  —  Sur  les   instruments   à   archet,   les  harmoniques 
sont  particulièrement  intenses,  perceptibles  jusqu'au  sixième 
ou  au  huitième  selon  que  l'archet  s'approche  davantage  de 
la   touche   ou  du   chevalet.   Les  consonances    seront   donc 
particulièrement  bien   définies.    Mais    les   accords   complets 
deviennent  durs  et  les  accords   prolongés  peu  harmonieux. 
11  faut  faire  à  propos  des  battements  de  ces  instruments 
une  remarque  curieuse.  A  cause  des  petites  irrégularités  de 
l'action  de  l'archet  sur  la  corde,  il  y  a  de  brusques  et  inévi- 
tables changements  de  phase  une  ou  deux  fois  par  seconde 
au   moins.  Supposons  deux  violons  jouant  à  l'unisson,  ou 
donnant  un  accord  tel  qu'un  des  harmoniques  de  chacun  des 
deux  sons  soit  rigoureusement  commun.  Il  y  a  interférence, 
et  le   son   résultant  dépend   de  la  phase  relative  des  deux 
sons  interférants;  puisque  cette  phase  varie  une  ou  deux  fois 
par  seconde,  il  y  aura  variation  d'intensité,  alors  même  que 
l'unisson  serait  parfait.  Si  l'unisson  n'est  pas  parfait,  il  y  a 
battements  pendant  le  temps  qui  sépare  deux  irrégularités. 
11  résulte  de  là  :  i°  qu'il  est  extrêmement  difficile  d'entendre 
des  battements  lents  dans  un  accord  donné  par  un  ou  deux 
violons;  2°  qu'il  y  aura  dureté  dans  un  accord,  même  s  il  y  a 
unisson    parfait  et  a  fortiori  si  l'unisson  n'est  pas   parfait. 
Helmholtz   attribue   à  ces   causes   l'aigreur   particulière  des 
quatuors  cordes  exécutés  par  des  artistes  qui  ne  sont  pas 
éminents. 

Les  sons  graves  du  piano  sont  très  riches  en  harmoniques 
et  les  sons  aigus  relativement  pauvres.  Dans  le  grave,  l'octave 
et  la  douzième  sont  quelquefois  aussi  intenses  que  le  fonda- 
mental; donc  les  septièmes  et  neuvièmes,  dissonances  voi- 
sines de  l'octave,  sont  aussi  désagréables  que  les  secondes. 
Les  douzièmes  et  les  quintes  fausses  sont  très  dures.  Mais 
les  intensités  des  harmoniques  diminuent  très  rapidement 
avec  leur  numéro  d'ordre,  les  tierces  fausses  ne  sont  pas  trop 
dures,  parce  que  l'intervalle  de  tierce  est  surtout  déterminé 


CONSONANCES  ET  DISSONANCES.  j5 

par  les  harmoniques  à  partir  du  troisième.  Les  sons  du  piano 
n'étant  pas  tenus,  les  dissonances  y  sont  incomparablement 
moins  désagréables  que  sur  les  instruments  à  sons  tenus.  On 
obtient  un  effet  désastreux  par  exemple  en  jouant  sur  l'har- 
monium certains  morceaux  de  piano,  à  cause  de  l'abomina- 
tion des  intervalles  dissonants. 

46.  Remarque  sur  les  deux  questions  traitées  dans  le  pré- 
cédent Chapitre  et  le  Chapitre  actuel.  Rapports  simples. 
—  Dans  le  Chapitre  IV,  nous  nous  servons  des  harmoniques 
pour  construire,  les  gammes  diatoniques;  nous  prenons  comme 
point  de  départ  la  proposition  suivante  :  la  parenté  de  deux 
sons  provient  de  ce  que  l'un  se  trouve  dans  Vautre  comme 
harmonique,  ou  de  ce  qu'ils  ont  des  harmoniques  com- 
muns. —  Nous  obtenons  ainsi  un  certain  nombre  d'inter- 
valles, précisément  ceux  que  les  musiciens  avaient  découverts 
depuis  longtemps. 

Dans  le  Chapitre  Y,  nous  nous  servons  des  battements 
pour  classer  les  accords  suivant  une  hiérarchie  allant  de  la 
consonance  absolue  à  la  dissonance  la  plus  dure.  Nous  retrou- 
vons ainsi  les  principaux  intervalles  déjà  définis;  la  raison 
de  cette  coïncidence  vient  de  ce  que  nous  utilisons  encore 
les  harmoniques. 

Nous  avons  dans  cet  emploi  la  raison  profonde  de  l'exis- 
tence des  rapports  simples  auxquels  les  anciens  physiciens 
attribuaient  une  vertu  mystérieuse.  La  simplicité  des  rap- 
ports tient  à  ce  que  seuls  les  premiers  harmoniques  ont  une 
intensité  suffisante  pour  qu'ils  soient  utilisables.  Seuls  ils 
peuvent  donc  créer  une  parenté,  seuls  ils  peuvent  intervenir 
pour  faire  un  accord  consonant  et  le  rendre  dissonant  par 
une  altération  de  l'un  des  sons  constituants. 

Mais  n'oublions  pas  que  classer  des  fractions  et  dé- 
clarer que  nous  déterminons  indubitablement,  par  les  plus 
simples,  le  degré  de  douceur  ou  de  dureté  relative  de  tous 
les  intervalles  qu'elles  représentent,  n'est  pas  une  explica- 
tion physique. 

C'est  la  raison  de  ce  classement  que  le  physicien  recherche  ; 
son  rôle  commence  alors  que  l'artiste  peut  se  déclarer  satis- 
fait. 


7»  CH  \  pitre   VI. 

Est-il  nécessaire  d'ajouter  qu'on  a  composé  d'excellente 
musique  avant  qu'on  ait  posé  la  question  scientifique; 
beaucoup  de  musiciens  auront  fort  heureusement  du  génie, 
sans  connaître  un  mol  d'Acoustique;  le  physicien  n'espère 
pas  que  ses  théories  fourniront  la  moindre  idée  à  aucun 
d'entre  eux.  Et  réciproquement,  que  ses  théories  aient  ou 
n'aient  pas  l'approbation  des  musiciens,  lui  est  parfaitement 
indifférent. 

Ne  mélangeons  pas  les  genres. 


_ 


CÏÏAPITRE  VI. 

MODULATION    ET   TRANSPOSITION.    DES   TEMPÉRAMENTS. 
ACCORD   DES    INSTRUMENTS. 

kl.  Transposition  et  modulation.  —  La  hauteur  absolue 
de  l'échelle  musicale  est  arbitraire.  L'expérience  montre  que 
l'audition  successive  du  même  morceau  à  des  hauteurs  diffé- 
rentes, ce  qu'on  appelle  une  transposition,  produit  une  sen- 
sation agréable  par  la  variété  qui  en  résulte.  Ce  qui  est  vrai 
d'une  composition  entière  l'est  encore  bien  davantage  d'une 
phrase  musicale  :  cette  transposition  momentanée  s'appelle 
une  modulation.  Les  mots  transposition  et  modulation  ont 
donc  pour  le  physicien  exactement  le  même  sens;  il  s'agit  de 
multiplier  par  le  même  nombre  les  hauteurs  de  toutes  les 
notes,  soit  d'un  morceau,  soit  de  quelques  mesures  de  ce 
morceau. 

Sur  un  instrument  à  sons  mobiles,  comme  la  voix,  le  pro- 
blème ne  présente  aucune  difficulté.  Théoriquement  il  an  est 
ainsi  pour  le  violon  et  les  instruments  similaires;  pratique- 
ment, une  fois  l'instrument  accordé,  nous  devons  pour  la 
majorité  des  exécutants  le  considérer  comme  un  instrument 
à  sons  fixes,  les  positions  des  doigts  devant  être  pratique- 
ment déterminées  à  l'avance  et  en  petit  nombre,  pour  éviter 
un  jeu  trop  compliqué. 

L'emploi  du  tempérament  égal  rend  possible  une  très 
grande  variété  de  modulations.  L'octave  étant  partagée  en 
demi-tons  tous  égaux,  il  est  clair  que  nous  pouvons  trans- 


MODULATION    ET    TRANSPOSITION,    ETC.  77 

poser  d'un  nombre  quelconque  de  demi-tons;  il  y  a  donc 
12  modulations  possibles  à  l'intérieur  de  chaque  octave. 
Nous  pouvons  élever  ou  abaisser  tous  les  sons  d'un  nombre 
quelconque  de  fois  20  savarts. 

Sur  un  instrument  à  tempérament  rigoureusement  égal,  les 
différents  tons,  c'est-à-dire  les  différentes  gammes  diato- 
niques (majeures,  mineures  ou  généralement  d'un  mode 
quelconque)  admettant  pour  tonique  un  quelconque  des 
12  sons  de  l'octave,  ne  diffèrent  que  par  la  hauteur  absolue. 
Par  conséquent,  quand  on  passe  d'un  ton  à  un  autre,  le  chan- 
gement d'effet  musical  doit  être  purement  relatif  (1). 

Si,  au  contraire,  le  tempérament  n'est  pas  rigoureusement 
égal,  si  les  demi-tons  ne  sont  pas  identiques,  etsi  cependant 
nous  modulons  comme  s'ils  l'étaient,  il  est  clair  que  le  chan- 
gement de  tonique  entraine  un  changement  de  mode. 

On  verra  tout  à  l'heure  l'importance  de  ces  considérations. 

48.  Modulations  dans  la  gamme  à  tempérament  égal.  — 
Nous  parlerons  d'abord  de  ce  cas  très  simple  comme  intro- 
duction au  cas  plus  complexe  de  la  modulation  dans  la  gamme 
naturelle. 

A  partir  d'une  dés  notes  de  la  gamme  tempérée  montons 
et  descendons  d'un  nombre  quelconque  de  quintes  tempérées, 
valant  par  conséquent  exactement  7:12  d'octave.  Nous 
obtenons  la  série  suivante  : 


M 

ut- 

soF 

re 

la- 

nu 

si 

/« 

ut    . 

sol 

ré 

la 

mi 

si 

/<>* 

ut' 

sol' 

ré' 

la'' 

mi' 

si 

Puisque  nous  opérons  avec  la  quinte  tempérée,  fa'  est 
identique  avec  soi ,  ut    avec  re',  etc. 


(  '  )  Le  lecteur  doit  soigneusement  éviter  le  contresens  auquel  prête 
l'emploi  du  mot  moduler.  Moduler,  dans  son  sens  strict,  ce  D'est  pas 
changer  de  mode,  c'est  tout  au  contraire  changer  de  tonique  en  con- 
servant le  même  mode.  Le  mot  transposer  est  préférable  comme  ne 
permettant  pas  cette  ambiguïté.  Malheureusement  il  n'est  pas  employé 
dans  le  cas  que  nous  traitons.  Le  mode  est  caractérisé  par  le  choix  des 
intervalles  de  la  gamme,  le  ton  par  la  hauteur  à  laquelle  la  gamme 
s'exécute. 


78  CHAPITRE    VI. 

Considérons  d'abord  la  gamme  diatonique  majeure,  et 
prenons  pour  tonique  le  sol.  Nous  vérifions  immédiatement 
que,  pour  obtenir  la  même  série  d'intervalles,  il  faut  écrire  : 

sul         la         si         ut         ré         /ni        fa'         sol, 

c'est-à-dire  diéser  la  noie  qui  est  à  deux  quintes  au-dessous 
de  la  tonique.  Prenons  pour  tonique  le  ré  qui  est  à  la  quinte  du 
sol;  il  faut  opérer  par  rapport  à  la  gamme  de  sol,  comme 
nous  avons  précédemment  opéré  par  rapport  à  Yut;  donc  il 

faut  maintenir  le  fa'  et  diéser  Y  ut  qui  est  à  deux  quintes 
au-dessous  de  la   tonique.  Passons  à  la   Ionique  la;  même 

raisonnement;  il  faut  maintenir  le  fcf  et  Yut';  de  plus  il 
faut  diéser  le  sol.  Et  ainsi  de  suite. 

En  définitive  les  gammes  à  1,  2,  3,  ..  .,  7  dièses  ont  pour 
toniques  :  ut,  sol,  ré,  ...,  utç.  Les  notes  diésées  sonty<z; 
fa,  ut;  fa,  ut,  sol;  fa,  ut,  sol,  ré;  et  ainsi  de  suite,  les 
dièses  de  la  gamme  à  n  dièses  comprenant  toujours  ceux  de 
la  gamme  à  «  —  1  dièses. 

Prenons  maintenant  comme  tonique  le  fa  à  une  quinte 
au-dessous  de  Yut  :  on  vérifie  qu'il  faut  écrire  : 

fa         sol         la         sr  ut         ré         mi        fa. 

Donc  c'est  la  note  qui  est  à  la  quinte  diminuée  au-dessous 
de  la  tonique  qui  est  bémolisée  :  elle  fait  alors  avec  la  tonique 

une  quinte  tempérée.  Prenons  pour  tonique  le  si :  ;  il  faut 
-opérer   sur   le   gamme   de  fa   comme   précédemment  sur  la 

gamme  d'ut;  il  faut  donc  conserver  si7  et  bémoliser  Je  mi. 

Prenons  pour  tonique  le  mi ;  même  raisonnement;  il   faut 

conserver  s?  et  mi7  ;  de  plus  bémoliser  le  la. 

En  définitive  les  gammes  à    1,   2,   3,   .  ..,  7  bémols,   ont 

pour  toniques  :  fa,  sr ',  mi ',  ...,  ut.  Les  notes  bémolisées 
sont  si;  si,  /ni;  si,  mi,  la;  si,  mi,  la,  ré;  et  ainsi  de  suite,  les 
bémols  de  la  gamme  à  n  bémols  comprenant  toujours  ceux 
de  la  gamme  à  n  —  1  bémols. 

Nous  arrivons  ainsi  à  10  gammes  diatoniques  majeures. 
Mais,  comme  il  n'y  a  que  douze  intervalles  dans  l'octave,  il 
est  clair  que  3  gammes  contenant  des  dièses  doivent  être 
identiques  à  3  gammes  contenant  des  bémols.  On  vérifiera 


MODULATION    ET   TRANSPOSITION,    ETC.  79 

facilement  qu'il  en  est  ainsi  :  i°  pour  ut*  (7  dièses)  et  ré" 
(5  bémols);  2°  pour  ut"  (~  bémols  et  si  (5  dièses);  3°  pour 
fa'  (6  dièses)  et  sol:  (6  bémols).  Donc  en  tout  12  modula- 
tions possibles. 

Passons  aux.  gammes  mineures.  Rappelons  les  deux  séries 
d'intervalles  : 

Gamme  majeure T       T       \t        T       T         T         t 

Gamme  mineure T        t        T       T        t     T  ■+■  t    t 

Comparons  la  gamme  majeure  et  la  gamme  mineure  quand 
la  tonique  de  celle-ci  est  à  un  ton  et  demi  au-dessous  de  la 
tonique  de  la  gamme  majeure  (ton  mineur  relatif  du  ma* 

jeur)  : 

Gamme  majeure. 

{la)  (si)  ut         ré         mi      fa         sol         la         si       ut 

(T)  (t)  T  T  t  T  T  T         t 


Gamme  mineure. 

la  si  ut  ré  >)ii  fa  sol'  la 

■  T  t  T  T  t  T  -4-  t  t 

Il  faut  donc  conserver  six  des  notes  de  la  gamme  majeure, 
mais  hausser  d'un  demi-ton  la  note  qui  devient  la  sensible 
de  la  gamme  mineure.  On  indique  donc  une  fois  pour  toutes 
les  mêmes  altérations,  par  la  même  armure  de  clef,  pour 
une  gamme  majeure  et  son  relatif  mineur.  Quant  à  la  sen- 
sible de  la  gamme  mineure,  on  la  hausse  (chaque  fois  qu'elle 
se  présente  dans  le  cours  du  morceau)  soit  par  un  dièse,  soit 
par  un  bécarre,  si  la  sensible  est  bémolisée  par  l'armure  de 
clef,  soit  même  par  un  double  dièse. 

Voici  des  exemples.  La  gamme  de  la  mineur  relatif  d'ut 
majeur  est  écrite  plus  haut;  le  sol  est  diésé. 

Dans  la  gamme  d'ut  mineur  relatif  de  mi'  majeur  (3  bé- 
mols) 

ut       ré       mi'      fa       sol       la*       si       ut 

la  nouvelle  sensible  si,  qui  serait  bémolisée  d'après  l'armure 
de  clef,. est  affectée  du  signe  \  au  cours  du  morceau. 


8o  CHAPITRE    VI. 

On  vérifiera  qu'il  y  a  un  bécarre  dans  les  tons  mineurs- 
possédant  trois  bémols  ou  davantage. 

Dans  la  gamme  sol*  mineur  relatif  de  si  majeur  (5  dièses) 

sol''       la         si       ut'       ré"       mi      fa  sol" 

la  nouvelle  sensible  fa^  qui  est  diésée  par  l'armure  de  clef, 
doit  être  élevée  d'un  ton  entier.  On  l'affecte  du  signe  double 
dièse  85  ou  •*.  On  vérifiera  qu'il  y  a  un  double  dièse  dans 
les  tons  mineurs  possédant  5,  6  ou  7  dièses. 

49.  Système  de  sons  obtenus  par  quintes  naturelles.  No- 
tations. —  Pour  faciliter  la  discussion,  nous  introduirons 
des  notations  qui  permettent  de  distinguer  plusieurs  notes 
de  même  nom. 

Reprenons  le  Tableau  du  §  48;  mais,  au  lieu  d'utiliser  la 
quinte  tempérée  de  1 75°",  5,  utilisons  la  quinte  juste  de  176°",  1  - 
Il  résulte  de  l'obtention  des  sons  par  élévation  ou  abaisse- 
ment d'un  certain  nombre  de  quintes  et  transport  d'un  cer- 
tain nombre  d'octaves,  une  gamme  sur  laquelle  nous  vien- 
drons et  qu'on  appelle  gamme  pythagoricienne  du  nom  de 
son  inventeur. 

Voici  les  intervalles  en  savarts;  je  mets  en  regard  les  in- 
tervalles de  la  gamme  naturelle  et  de  la  gamme  tempérée 

ut.  ré. 

G.  tempérée o     5o 

G.  naturelle o     5i 

G.  pythagoricienne. ..  .     o     di 

Pour  obtenir  la  note  diésée,  il  faut  monter  de  7  quintes 
(soit  176,1  X  7  =  i  a32ff,  7)  et  descendre  de  quatre  octaves 
(soit  3oi  x  4  — I20-4)  :  elle  se  trouve  donc  à  28a  au-dessus 
de  la  note  naturelle.  Un  raisonnement  analogue  montre  que 
le  bémol  est  à  28-  au-dessous  de  la  note  naturelle. 

En  définitive  la  gamme  de  Pythagore  est  constituée  par 
cinq  tons  de  5i (T( 5  X  5i  m  255CT)  et  deux  demi-tons  ou 
limmas  de  23t(2  x  23  =r  [fi"7).  Les  tous  de  5iff  sont  recoupés 
par  des  notes,  dièse  et  bémol,  qui  se  disposent  comme  suit  : 

A  i 

ut  re'  ut  re 

23<*  5*  23<* 


mi. 

fa. 

sol. 

la. 

si. 

ut. 

100 

125 

176 

226 

276 

3oi 

975 
102 

125 

.0 
123 

176 
■76° 

222. 
22- 

273 
278 

3oi 
3oi 

MODULATION   ET   TRANSPOSITION,    ETC. 

81 

Les  intervalles  de  demi-tons  sont  recoupés  comme  suit  : 

fa?                 mi                fa                 mi' 

517                 23                 57 

L'intervalle  ton  moins  limma  s'appelle  apotome;  il  vaut  2S17. 

En  définitive,  dans  une  octave,  il  v  a,  d'après  cette  manière 

d'obtenir  les  sons,  21  sons  différents  dont  voici  le  Tableau 

général. 

ul.       ré.     mi.     fa.      sol.      la.       si.        ut. 

N'oies  naturelles o     5i      io>      1 2 5     176     227     278     Soi 

Notes  d iésées 28     79     i3o     1 53     204     255     3o6     329 

Notes  bémolisées.. . .      — 28     23       74       97     148     199     25o     273 

Dorénavant,  quand  nous  écrirons  une  note  quelconque, 
c'est  la  note  de  ce  Tableau  qu  il  faut  entendre.  —  Si  nous 
plaçons  une  barre  au-dessus  de  la  note,  fa  par  exemple,  le 
son  fait  avec  lut  l'intervalle  du  Tableau  plus  o'7  ;  si  la  barre 
est  sous  la  note,  fa  par  exemple,  l'intervalle  est  diminué 
de  5a.  Plusieurs  barres  élèvent  ou  abaissent  la  note  d'autant 
de  commas. 

La  gamme  naturelle  majeure  s'écrit  dès  lors  : 

ut       ré       mi      fa       sol       la       si       ut 

Nous  pouvons  maintenant  acquérir  une  idée  précise  de  ce 
(|ue  serai t  la  modulation  rigoureuse,  la  transposition  exacte 
avec  la  gamme  naturelle. 

/  50.  Modulation  dans  la  gamme  naturelle.  —  Admettons 
qu'on  veuille  moduler  en  prenant  successivement  po§ur  to- 
niques les  sons  de  la  gamme  d'ut  majeur;  voici  l'ensemble 
des  Dûtes  nécessaires  pour  les  sept  transpositions. 

ut  ré  mi  fa  sol  la  si  ut 

sol  la  si  ut  ré  mi  fa'  sol 

ré  mi  fa'  sol  la  si  ut'  ré 

la  si  ul'  ré  mi  fa'  sol'  la 

mi  fa'  sol'  la  si  ul'  ré'  mi 

si  ut'  ré'  mi  fa'  sol'  la'  si 

fa  sol  la  si-  ut  ré  mi_  fa 

Scienlia,  n°  28.  -  6 


i  ' 


(Il  Wl  I  m.    \  I. 


T 


Les  50ns  différents  dans  l'octave  sonl  au  nombre  -le  18  pour 
sept  modulations  possibles. 

Si  maintenant  on  veut  moduler  en  prenant  pour  tonique 
L'un  Quelconque  des  sons  obtenus,  il  est  clair  qu'on  ne  s'arrê- 
tera dans  la  subdivision  qu'à  3o,  sons  dans  l'octave,  en  pre- 
nant le  savart  comme  dernier  intervalle  négligeable  (  ).  Un 
neut  il  est  vrai,  moduler  alors  dans  3oi  tons,  mais  il  est 
trop'évident  qu'aucun  instrument  a  sons  fixes  ne  peut  être 
construit  sur  ce  principe.  . 

Le  Tableau  montre  que  la  définition  du  d.ese  et  du  bémol , 
narle  moyen  de  la  modulation  est  ambiguë;  par  exemple, 
Tous  rencontrons  deux  dièses  différents,  Vu£  qui  provient 
de  la  modulation  en  ré,  et  Pu»  qui  provient  de  la  modula- 
tion en  mi.  Donc  diéser  est  tout  aussi  légitimement  hausser 
la  note  de  (28  -5=)  ^  que  la  hausser  de  (28  -  10=)  i8«. 
Plus  exactement  c'est  employer,  suivant  les  tons  et  la  posi- 
tion de  la  note  altérée,  l'un  ou  l'autre  de  ces  procèdes.  Même 
remarque  pour  les  bémols. 

assurément,  quand  on  veut  moduler  dans  un  petit  nombre 
de' tons  il  est  possible  de  construire  un  instrument  a  sons 
fixes  («):  le  Tableau  montre  qu'avec  .8  sons  par  octave  on 
peut  moduler  rigoureusement  en  prenant  pour  tonique  1  un 
des"  sons  de  la  gamme  d'ut  majeur.  Mais  il  n'est  pas  possible 
de  moduler  par  demi-tons.  , 

Devant  ces  résultats,  on  fut  amené  peu  a  peu  a  chercher 
„„  tempérament,  une  altération  des  intervalles  naturels, 
satisfaisant  aux  deux  conditions  suivantes  :  1°  ne  pas  dépasser  - 
ia  sons'à  l'octave;  2°  avoir  cependant  le  moins  de  dureté 
possible  dans  les  accords.  C'est  au  xvu°  siècle  que  la  ques- 
ion  fut  posée  et  au  zriu-  siècle  qu'on  finit  par  adopter  e 
tempérament  égal.  Donnons  quelques  détails  sur  cette  lus- 
toire. 

51    Tempérament.  Accord  d'un  instrument.  Partition. 
_   Pour  comprendre  comment  se  présente  la  question   du 


MODULATION   ET  TRANSPOSITION.    ETC.  $3 

meilleur  tempérament,  il  faut  avoir  une  idée  nette  de  la 
manière  dont  on  accorde  un  instrument  à  sons  f:\es.  dont  on 
divise  l'octave,  travail  que  désigne  le  mol  partition  (division 
en  parties)  employé  par  les  accordeurs. 

L'intervalle  le  mieux,  déterminé  après  l: octave  étant  la 
quinte,  c'est  toujours  par  quintes  que  l'on  opère. 

On  prend  vers  le  milieu  de  l'instrument  (piano,  orgue,  har- 
monium, harpe)  un  son  pour  servir  de  base  à  tous  les  autres; 
appelons-le  ut3.  On  accorde  le  sol3  à  la  quinte,  puis  le  rét. 
On  revient  au  ré3.  on  passe  à  la  quinte  la3,  puis  "encore  à  la 
quinte  mi,,.  On  revient  à  l'octave  inférieure  mi3.  On  continue 
de  même,  montant  de  quinte,  en  quinte  et  redescendant  d'une 
octave  quand  on  s'éloigne  trop. 

On  recommence  la  même  opération  vers  le  bas,  passant  de 
ut3  à  fa.2,  puis  à/a3;  de  fa3  à  si%,  puis  à  si3,  et  ainsi  de  suite.  • — 

Quand  une  octave  est  ainsi  convenablement  divisée  à  l'aide 
des  deux,  octaves  voisines,  le  reste  va  sans  peine  puisqu'il 
suffit  d'accorder  des  octaves  successives. 

Toute  la  question  des  tempéraments  se  ramène  donc,  au 
point  de  vue  pratique,  à  savoir  quelle  quinte  on  emploiera. 
Si  l'on  utilise  la  quinte  tempérée,  on  obtient  le  tempéra- 
ment égal;  si  l'on  utilise  tantôt  la  quinte  juste,  tantôt  une 
quinte  plus  haute  ou  plus  basse,  on  obtient  un  tempéra- 
ment inégal.  Mais,  comme  la  quinte  naturelle  est  la  plus  aisée 
à  réaliser,  c'est  toujours  elle  qu'on  cherche  d'abord  à  obtenir, 
quitte  à  l'augmenter  ou  à  la  diminuer  ensuite  tant  soit  pea. 

52.  Tempérament  inégal.  —  Voici  le  tempérament  adopté 
jusqu'à  la  mise  en  vigueur  du  tempérament  égal,  c'est-à-dire 
iusqu'à  Bach  et  Rameau  au  milieu  du  xvme  siècle. 

A.  Partons  de  Y  ut  et  procédons  par  des  quintes  telles  que 
la  quatrième  ramène  le  mi,   à   la  tierce  naturelle  de  l'ut. 

L'intervalle  de  quinte  qx  à  employer   est  donc  tourni  par  la 
relation 

4ql  —  2  x  3oi  =  97,        y1  =  i74».8. 


La  quinte  est  donc  tant  soit  peu  plus  petite  que  la  quinte 
naturelle  q  =  176*,  1. 


! 


S.J  CHAPITRE    vi. 

B.  P°  Parlons  du  mi  ainsi  obtenu  ;  m  oui  un-  de  \  quintes  y., 
et  descendons  de  deux  octaves;  nous  arrivons  à  un  -on  que 
nous  pouvons  appeler  sok.  20  Parlons  de  1'///;  descendons  de 
4  quintes  «'i  montons  'le  .'>  octaves;  nous  parvenons  à  un  son 
que  nous  pouvons  appeler  la?.  (Voir  le  tableau  du  §  !\$). 
Ecrivons  que  ee^  deux  sons  coïncident 

97  —  4  92  —  6o2  =  ^> 

—  kq*.  -+-  o°3  =  *■ 

D'où  <•/,  =  ijô7,  j:  =  199.  La  quinte  est  à  peu  près  rigoureu- 
sement égale  à  la  quinte  naturelle.  La  note  x  ainsi  obtenue 
est  sol-  =  la?  d'à  lires  la  nolalion  du  S  50. 

...  . 

On  obtient  ainsi  le  système  de  12  sons  dont  voici  les  inter- 
valles en  savarts  : 


ut 

ut" 

ré. 

rcr 

mi 

fa- 

/**■ 

sol. 

sol* 

/«. 

/a=. 

Si. 

0 

23 

49 

74 

97 

125 

.48 

i75 

'99 

223 

2ÔO 

2-3 

2'è 

26 

2D 

23 

28 

23 

27 

24 

24 

2- 

23 

28  ' 

Tel  est  le  tempérament  préconisé  jusqu'au  milieu  du 
XVIIIe  siècle. 

Les  intervalles  n'étant  pas  strictement  égaux,  un  change- 
ment de  ton  est  un  véritable  changement  de  mode.  Certains 
tons,  celui  d'ut  majeur  en  particulier,  se  rapprochent 
beaucoup  de  la  gamme  naturelle;  certains  autres  (le  ton  de 
mi  majeur  par  exemple)  s'en-  éloignent  par  une  tierce  qui 
peut  atteindre  10217. 

Quelques  lignes  de  J.-J.  Rousseau  précisent  l'importance 
qu'il  va  i5o  ans  on  attachait  à  ces  questions.  «  La  tierce  ma- 
jeure, qui  nous  excite  naturellement  à  la  joie,  nous  imprime 
jusqu'à  des  idées  de  fureur,  quand  elle  est  trop  forte;  et  la 
tierce  mineure,  qui  nous  porte  à  la  tendresse  et  à  la  douceur, 
nous  attriste  lorsqu'elle  est  trop  faible.   » 

Avec  un  instrument  accordé  suivant  un  tempérament 
inégal,  on  possédait  donc  tout  un  arsenal  de  modes  diffé- 
rents, richesse  que  prisaient  fort  des  musiciens  attachant 
aux  intervalles  pris  en  eux-mêmes,  l'importance  dont  la 
citation  précédente  fournit  une  idée. 

Bien  entendu,  le  tempérament  précédent  n'est  pas  le  seul 


DIVERSITÉ    DE   MONJMAi 

MODULATION    ET    TRANSPOSITION,    ETC.  ÔD 

qui  ait  été  proposé  (1).  Quelques  théoriciens  ~oulWi&riptctfi£J-lF 
server  la  gamme  d'ut  majeur  rigoureusement  naturelle  et 
recouper  simplement  les  intervalles  de  tons.  Dans  cette  divi- 
sion, ils  n'étaient  plus  d'accord.  Les  uns  recommandaient 
les  intervalles  iS  :  17  et  17  :  16  comme  parties  constitutives 
du  ton  majeur,  20  :  19  et  19  :  18  comme  parties  constitutives 
du  ton  mineur;  c'est  ce  qu'ils  appelaient  une  division  arith- 
métique. Les  intervalles  sont  alors  en  savarts  : 

ut  ut'  ré  ré'  mi 

26  25  i\  22 

Naturellement  les  dièses  et  les  bémols  se  confondent. 
Les  autres  coupaient  le  ion  majeur  et  le  ton  mineur  chacun 
en  deux  intervalles  ésaux  : 


ut  ut' 


23  23 


Mais  il  ne  suffit  pas  de  décréter  l'excellence  d'un  tempé- 
rament, faut-il  encore  donner  le  moyen  de  faire  la  partition, 
et  Ton  ne  peut  pratiquement  procéder  que  par  quintes.  Aussi 
le  tempérament  inégal  que  nous  avons  d'abord  exposé,  pro- 
cédant par  quintes  avec  ses  trois  preuves  {mi  à  la  tierce  de 

Yut,  sol'  à  la  tierce  un  peu  haute  du  mi,  enfin  la    coïnci- 
dant avec  le  sol'),  était-il  le  seul  usité. 

53.  Tempérament  égal.  —  Quand  la  musique  prit  définiti- 
vement pour  base  le  principe  de  tonalité,  quand  on  fit  moins 
attention  à  la  beauté  de  l'intervalle  pris  en  lui-même  et  qu'on 
attacha  plus  d'importance  auxjnodulations,  on  s'aperçut  que 
le  tempérament  inégal  n'était  pas  la  meilleure  solution.  Cela 
devint  évident  pour  les  musiciens  qui  cultivèrent  la  fugue 
tonale,  Bach  par-dessus  tous.  Il  ne  s'agit  plus  de  choisir  un 
ton  et  d'y  rester;  il  faut  pour  ainsi  dire  superposer  deux  tons, 
manœuvrer  simultanément  dans  ces  deux  tons.  Or,  la  perfec- 

(')  On  trouve  les  inventions  les  plus  variées  sur  la  division  de 
l'octave.  Sauveur  proposait  de  diviser  foctave  en  43  parties,  qu'il 
appelait  mcrides.  Chaque  partie  valait  -'• '\  le  ton  ou  hej/taméi  ide 
valait  \<f ,  le  demi-ton  majeur  2S5  et  le  demi-ton  mineur  21*.  Huyghens 
réclamait  55  parties. 


86  CHAPITRE   VI. 

lion  d'un  Intervalle  est  une  gêne  plutôt  qu'un  avantage,  s'il 
doit  être  suivi  et  précédé  du  mente  intervalle  faussé  :  con- 
servant un  terme  (!<•  comparaison,  l'oreille  ne  s'accoutume 
plus;  sa  tolérance  est  moindre. 

On  comprit  que  la  seule  manière  de  sortir  des  difficultés 
était  de  fausser  également  tous  les  intervalles;  d'où  le  tem- 
pérament égal,  mis  en  honneur  parBacli  dont  tout  le  monde 
connaît  le  recueil  de  fugues  :  Le  clavecin  bien  tempéré. 

Voici  comment  Chladni  légitime  dans  son  Acoustique 
l'emploi  de  ce  tempérament. 

Douze  quintes  justes  font  sept  octaves  plus  6e,  intervalle 
qu'on  appede  souvent  comma  pythagoricien.  On  a  en  effet 

176e7,  1x12  =  2113^2;         3oiCTx  7  =  2107*7. 

Comme  on  procède  par  quintes  pour  faire  la  partition,  il 
faut,  quel  que  soit  le  tempérament,  fausser  quelques-unes 
des  quintes.  Dans  le  tempérament  inégal  que  nous  avons 
étudié,  4  quintes  devaient  être  abaissées  à  174^,  S.  On  se 
rappelle  que  la  quinte  tempérée,  valant  exactement  7:12 
d'octave,  est  de  ^ô17,  6. 

Ceci  posé,  voici  les  remarques  de  Chladni  : 

i°  Sur  les  12  quintes,  plus  il  y  a  de  quintes  exactes,  c'est- 
à-dire  valant   176e7,  1,   et  plus  le   tempérament  est   mauvais,  c^ 
parce    qu'alors   le    petit    nombre    de    quintes    fausses   entre 
lesquelles  on  répartit  le  comma  pythagoricien  deviennent 
moins  supportables. 

20  On  aboutit  à  des  différences  de  pureté  très  perceptibles 
pour  l'oreille,  si  Ton  répartit  le  comma  inégalement  entre 
les  quintes. 

3°  Les  tempéraments  les  plus  mauvais  sont  ceux  où  il  y  a 
des  quintes  haussées,  parce  qu'alors  quelques  autres  quintes 
supporteront,  outre  une  fraction  de  comma  pythagoricien, 
une  fraction  de  l'excès  des  quintes  haussées. 

Conclusion  :  le  seul  tempérament  admissible  est  le  tem- 
pérament égal.  —  Pour  l'obtenir  pratiquement  on  part  d'une 
touche  quelconque;  on  en  accorde  la  quinte  juste,  puis  on 
diminue  aussi  peu  que  rien;  on  procède  ainsi  d'une  quinte 
à  l'autre.  On  doit  parvenir  après  J2  quintes  ou  son  dont  on 
est  parti,  bien  entendu  en  ramenant  les  sons  dans  l'octave 


MODULATION*    ET    1 RANSPOSITIOX.    £TC  $/ 

-primitivement  choisie.  Inutile  de  dire  qu'une  longue  habi- 
tude e?t  nécessaire  pour  faire  correctement  la  partition. 

54.  Reproches  adressés  au  tempérament  égal.  —  Les  re- 
proches adressés  au  tempérament  égal  lors  de  son  apparition 
sont  curieux,  et  montrent  combien  ce  qu'on  peut  appeler  le 
sens  musical  se  transforme  d'une  époque  à  l'autre. 

Les  musiciens  se  plaignirent  d'abord  qu'on  leur  enlevât 
des  moyens  d'expression;  Rameau  eut  beau  leur  dire  qu'ils 
se  trompaient,  que  la  variété  peut  tout  aussi  bien  résulter  de 
l'entrelacement  des  tons  et  de  la  variation  de  la  hauteur 
absolue,  ils  répondirent  que  l'un  des  procédés  n'exclut  pas 
•  l'autre. 

Ils  déclarèrent  d'ailleurs  incidemment  que  l'on  n'obtient 
jamais  pratiquement  le  tempérament  égal  :  mais  c'est  là  une 
question  sur  laquelle  nous  reviendrons  plus  loin. 

J.-J.  Rousseau,  dans  son  JQjç^jjDnjiajre,  prétend  même  que 
■  Coupe  ri  n  etMersenne.au  xvue  siècle  avaient  essayé  d'intro- 
duire le  tempérament  égal,  mais  sans  succès;  l'oreille  des 
musiciens  se  refusant  à  souffrir  la  discordance  des  tierces 
majeures  trop  fortes  (ioo7  dans  le  tempérament  égal,  g~c 
dans  la  gamme  naturelle). 

Quand  Rameau  disait  que  l'oreille  s'habitue  à  l'alt-'raiion 
de  la  tierce  naturelle,  ses  adversaires  répliquaient  qu'ils  ne 
conçoivent  pas  comment  l'orgue  pourra  s'habituer  à  sup- 
primer les  battements  qu'on  y  entend  par  cette  manière  de 
l'accorder. 

Evidemment  ce  dernier  argument  est  sans  réplique;  il 
montre  que  la  théorie  d'Helmholtz  sur  l'origine  des  disso- 
nances était  implicitement  admise  bien  avant  lui.  Que  l'orgue 
fasse  entendre  des  battements  pour  les  tierces  fausses,  c'est 
incontestable;  qu'il  soit  déplorable  que  l'on  ne  puisse  obtenir 
toutes  les  tierces  naturelles,  ce  ne  l'est  pas  moins.  Mais  le 
problème  ne  se  pose  pas  ainsi.  Il  s'agit  de  savoir  où  est  le 
moindre  mal,  s'il  ne  vaut  pas  mieux  faire  battre  toutes  les 
tierces  sans  trop  de  dureté,  que  d'en  conserver  quelques- 
unes  sans  battements,  en  faisant  hurler  les  autres. 

11    est    à    noter    que   du    côté  du    tempérament  égal    sont 

d'illustres  harmonistes  comme  Rach  et  Rameau,  et  que  dans 

.l'autre  camp  sont  des  gens  comme  J.-J.  Rousseau,  auteur  du 


èH  I  II  U'I  l  RE    VI. 

Devin  du   Village  et  signataire  de  la  |  lira  se  suivante  :  «  Le 
plaisir  que  donne   une  fugue   étant  toujours   médiocre,  on 

peut  «lire  qu'une  belle  fugue  est  l'ingrat  chef-d'œuvre   d'un 
bon  harmoniste.  » 

J'insiste  sur  ces  questions,  parce  qu'il  est  profondément 
irritant  d'entendre  si  souvent  des  gens  qui  confondraient  la 
quinte  et  l'octave,  déclarer  fau\,  archi-faux,  un  instrument 
comme  le  piano,  accordé  suivant  un  système  que  Bach  ne 
réprouvait  pas. 


55.  Accord  réel  des  instruments  soi-disant  accordés 
d'après  le  tempérament  égal.  —  Le  débat  est  actuellement 
clos;  il  est  universellement  admis  que  le  seul  tempérament 
théoriquement  admissible  est  le  tempérament  éga1.  Mais  un 
autre  problème  se  pose  immédiatement  :  parvient-on  à  réa- 
liser ce  tempérament?  Dans  quelles  limites  le  réali^e-t-on? 

Sur  un  instrument  à  sons  fixes  accordé  suivant  le  tempé- 
rament égal,  tous  les  demi-tons  étant  égaux,  tous  les  sons 
avant  le  même  timbre,  les  différents  tons  doivent  présenter 
exactement  les  mêmes  caractères,  à  la  hauteur  près.  Or,  si 
l'on  fait  accorder  séparément  deux  pianos  suivant  les  règles 
ordinaires  de  partition  (qui  doivent  conduire  au  tempéra- 
ment égal),  de  manière  que  V ut  du  second  soit  rigoureuse- 
ment à  l'unisson  du  ré-  soi-disant  tempéré  du  premier,  on 
trouve  que,  ni  sur  l'un  ni  sur  l'autre  de  ces  instruments,  le 
ton  d'ut  majeur  n'est  identique  au  ton  de  rê>  majeur.  Pourtant 
les  toniques,  ut  pour  l'un,  ré-  pour  l'autre,  sont  exactement 
à  la  même  hauteur.  Faut-il  conclure  de  là  qu'il  est  pratique- 
ment impossible  d'accorder  un  piano  suivant  le  tempérament 
rigoureusement  égal?  Faut-il  conclure  que  l'attaque  des  tou- 
ches noires,  plus  courtes  et  plus  étroites,  modifie  légèrement 
la  nature  du  choc  du  marteau  et  par  conséquent  le  timbre? 
Helmholtz  n'ose  se  décider. 

Évidemment  la  seule  manière  de  trancher  le  débat  serait 
de  mesurer  effectivement  les  hauteurs  de  tous  les  sons,  ce 
qui  ne  serait  d'ailleurs  pas  très  difficile  avec  un  instrument 
construit  de  manière  que  les  cordes  soient  plus  directement 
accessibles  à  l'observateur  qu'elles  ne  sont  généralement. 
Toujours  est-il  que  le  ton  d'ut-  ou  de  ré?  paraît  plus  voilé 


MODULATION    ET   TRANSPOSITION.    ETC.  S9 

que  le  ton  d'i/t  naturel  :  même  résultat  pour  le  ton  d'ut?  ou 
de  si-  comparé  au  ton  d'ut  naturel. 

Des  organistes  ont  affirmé  à  Helmliollz  que  les  divers  Ions 
de  l'orgue  sont  rigoureusement  équivalents,  ce  qui  peut 
tenir  à  la  plus  grande  facilité  d'accorder  un  instrument  à 
sons  tenus.  On  admet  la  même  identité  pour  les  voix. 

Sur  les  instruments  à  archet,  il  est  impossible  d'ublenir 
un  tempérament  rigoureusement  égal,  puisque  les  cordes  à 
vide  donnent  des  quintes  naturelles.  D'ailleurs,  les  sons  à 
vide  se  distinguant  très  facilement  des  autres  par  leur  timbre 
énergique,  les  tons  changent  de  caractère  suivant  la  manière 
dont  les  sons  à  vide  y  interviennent.  Les  variations  de 
timbre  des  différents  degrés  peuvent  donc  jouer  dans  la 
constitution  des  gammes  un  rôle  analogue  aux  différences 
de  hauteur. 

Ce  qui  est  vrai  pour  les  variations  de  timbre  des  sons  du 
violon,  l'est  encore  pour  les  sons  des  instruments  à  vent. 
Chacun  sait  à  quel  point  diffèrent  les  sons  bouchés  et  non 
bouchés  du  cor;  quelque  chose  d'analogue  se  produit  selon 
le  nombre  et  la  position  des  tuyaux  de  rallonge  introduits 
par  le  jeu  des  pistons. 

Il  ne  faut  surtout  pas  oublier  que  d'eux-mêmes  les  instru- 
ments à  vent  tendent  à  donner  la  gamme  naturelle;  on  peut 
évidemment  leur  faire  rendre  un  son  quelconque  au  moyen 
d'ouvertures  pratiquées  dans  le  tuyau;  mais  c'est  au  dépens 
du    timbre  et  de  l'éclat  qu'on  force  les  hauteurs  naturelles. 

567  Gamme  de  Pythagore.    —  P.atiquement  les  instru- 


ment ne  peuvent  s'accorder  que  par  quintes  successives,  la 
quinte  étant  le  seul  intervalle  plus  petit  que  l'octave  dont 
on  puisse  apprécier  correctement  la  justesse.  Il  était  naturel 
de  transformer  ce  fait  d'expérience  en  une  nécessité  théo- 
rique. Pvthagore  connaissait  le  sonomètre  et  son  emploi;  il 
savait  que  la  corde  dont  on  prend  les  2  :  3  donne  l'intervalle 
de  quinte;  la  simplicité  du  rapport  2  ;  3  devait  le  frapper 
d'autant  plus  que  les  anciens  étaient  habitués  à  chercher 
dans  les  nombres  un  sens  mystique. 

La  théorie  de  Pvthagore  revient  à  dire  que  les  sons  s'engen- 
/    drent  par  quintes  et  par  octaves.  Nous  avons  vu  qu'on  par- 
vient ainsi  à  une  gamme  dans  laquelle  l'octave  est  divisée  en 


9°  ,CH  \i'i  nu:   vi. 

cinq  tons  de  5i»el  deux  limmasde  23».  Nous  avons  va  qu'en 
poussant  les  quintes  vers  le  haut,  on  peut  définir  des  dièses 
qui  sont  à  28*  au-dessus  delà  note  naturelle  correspondante; 

qu'en  poussant  les  quintes  vers  le  bas,  on  peut  définir  des 
l»m. ois  qui  sont  à  2S*  a  u-dessous  de  la  note  naturelle  corres- 
pondante. 

Avec  les  21  notes  de  la  gamme  pythagoricienne,  on  peut 
moduler  dans  10  tons  différents. 

En  effet,  la  série /a,  ut,  sol,  ré,  la,  mi,  si,  dont  les  notes 
sont  à  la  quinte  les  unes  des  autres  en  montant,  donne  la 
gamme  d'ut  majeur;  la  tonique  est  la  seconde  note  de  la 
série.  Donc  une  série  quelconque  de  sept  notes  qui  sont  à  la 
file  dans  le  Tableau  du  paragraphe  48  fournit  une  gamme 
majeure  de  même  constitution. 

La  première  série  débute  par/ah;  elle  fournit  la  gamme 
en  7  bémols,  avec  ut?  pour  tonique.  La  seconde  série  débute 
par  ut  b,  elle  fournit  la  gamme  en  6  bémols,  avec  soi?  pour 
tonique.  Et  ainsi  de  suite.  Nous  trouvons  successivement  la 
gamme  en  7,  6,  ...,  1  bémols.  Nous  parvenons  ainsi  à  la 
série  qui  débute  par  fa  et  fournit  la  gamme  d'ut  majeur. 
Continuant  en  montant,  nous  trouvons  la  série  qui  débute 
par  ut,  admet  sol  pour  tonique  et  possède  un  dièse.  Nous 
sommes  forcés  de  nous  arrêter  sur  la  série  qui  commence 
par/a*,  admet  ut?  comme  tonique  et  possède  7  dièses.  Car 
les  autres  séries  en  montant  seraient  incomplètes. 

Il  est  à  remarquer  que  nous  avons  ici  effectivement 
i5  modes  distincts,  et  non  pas  12,  comme  avec  la  gamme 
tempérée,  les  dièses  et  les  bémols  n'étant  pas  confondus 
(comparer  au  §  48).  Par  exemple  les  tons  de  réb ,  sol',  utp 
sont  respectivement  à  un  comma  au-dessous  des  tons  d'ut*, 
■de  fa*  et  desi.  Dans  un  instrument  accordé  sur  cette  gamme, 
il  serait  possible  d'effectuer  des  modulations  enharmo- 
niques, à  un  comma  de  distance,  au   moins  pour  trois  tons. 

Que  vaut  le  mode  pythagoricien  ?  Ses  défenseurs  en  France 
ont  été  principalement  Cornu  et  Mercadier;  mais  leurs 
efforts  pour  réhabiliter  ce  mode  ont  été  vains,  leurs  expé- 
riences devant  recevoir  une  interprétation  différente  de  celle 
qu'ils  leur  ont  donnée. 

Le   grand   argument   des   défenseurs   du   mode  pythagori- 


MODULATION    ET  TRANSPOSITION,    ETC.  91 

•cien    s'appuie   sur  la    position    de   la    sensible    relativement 
à  la  tonique,  et  conséquemment  la   position    du    dièse  rela- 
tivement  au   bémol.   Il    est    incontestable    que   Je   demi-ton 
majeur  16  :  i5  ou  28^  paraît  trop  grand,  non  pas  entre  le  mi 
et  lefaà  l'intérieur  de  la  gamme,  mais  entre  le  s/  et  Vut. 
Nous  avons  déjà  dit  à   quel  point  la  sensible  est  mal  déter- 
minée; sa  parenté  avec  Vut  est  peu  nette  ;  elle  n'est  en  somme 
qu'une   note  préparatoire   à   la   cadence   sur   l'octave  de   la 
'tonique.  Il  y  a  donc  tendance  à  diminuer  cet  intervalle  pour 
1  indiquer  le  sens  de  la   résolution;    les  chanteurs  et  les  vio- 
j  lonistes  ne  manquent  pas  d'y  céder. 

Mais,  outre  que  les  mêmes  raisons  ne  poussent  pas  à  dimi- 
nuer le  demi-ton  mi  fa  (la  tierce  et  la  quarte  étant  deux 
intervalles  parfaitement  caractérisés),  nous  ne  sommes  pas 
autorisés  à  modifier  arbitrairement  les  intervalles  unique- 
ment pour  rapprocher  la  sensible  de  sa  résolution.  Aussi 
est-ce  une  erreur  :  i°  de  chercher  dans  la  sensible  le  principe 
de  la  constitution  de  la  gamme  diatonique;  20  d'appliquer  au 
demi-ion  mi  fa  la  diminution  que  l'imprécise  définition 
harmonique  du  si  permet  de  faire  sans  inconvénient  sur 
l'intervalle  si  ut. 

Quant  à  la  position  du  dièse  par  rapport  au  bémol,  les 
musiciens  font  aux  physiciens  une  querelle  dont  il  faut  mon- 
trer la  vanité.  La  raison  d'être  des  dièses  et  des  bémols  se 
trouve  dans  les  nécessités  de  la  modulation  (*).  La  posi- 
tion relative  de  Vut*  par  rapport  au  ré9,  par  exemple,  dépend 
donc  des  hypothèses  initiales  faites  sur  la  structure  de  la 
gamme  diatonique  qui  sert  de  point  de  départ,  et  du  degré 
de  conformité  admis  a  priori  entre  les  gammes  résultant  des 
modulations  et  la  gamme  initiale.  Donc  la  discussion  ne 
peut  en  aucun  cas  porter  sur  la  position  relative  de?  diè=es 
et  des  bémols  ;  elle  n'a  de  sens  qu'à  propos  de  la  gamme  qu'on 
prétend  la  meilleure  (gamme  de  Zarlin,  tempérée,  de  Pylha- 
gore.  d'Euler,  etc.  ),  puisque,  cette  gamme  une  fois  admise, 
les  positions  des  dièses  et  des  bémols  sont  complètement 
déterminées. 

(')  Je  laisse  de  coté  la  question  du  dièse  et  du  bémol  envisagés 
comme  notes  de  passage,  comme  ornements  autour  des  notes  princi- 
pales du  ton.  Leur  position  est  arbitraire  et  au  gré  du  compositeur 
et  de  l'exécutant,  pourvu  que  l'instrument  permette  un  tel  arbitraire. 


(Il  \l'lï  Kl.      \   I. 


Si ,  pal  exemple,  nous  déclarons  la  gamme  de  Zarhn  la  meil- 
leure, nous  devons  placer  les  dièses  plus  lia-  que  le;  bémoU. 
Si  la  gamme  de  Pythagore  nous  semble  préférable,  nous 
devons  mettre  le-  dièses  j >lu s  haut  que  le,-  bémols. 

Là-dessus  le-  musiciens  déclarent  énergiquemeni  que, 
suidés  par  leur  sens  artistique,  les  dièt-es  sont  plus  liant 
que  les  bémols.  Ce  qui  ne  les  empêchera  pas  quelques  mi- 
nutes après  de  déclarer,  non  moins  énergiquement,  le  piano 
faux  et  la  gamme  tempérée  exécrable.  Ils  oublient  seule- 
ment que,  pour  mettre  tous  les  dièses  au-dessus  de  tous  les 
bémols,  il  faut  prendre  comme  point  de  départ  une  gamme 
qui  soit  encore  plus  fausse  que  la  gamme  tempérée,  plus 
éloignée  de  la  gamme  naturelle,  la  gamme  de  Pythagore 
par  exemple. 

Si  les  tierces  tempérées  sont  dures,  que  dire  des  tierces 
pvtbagoriciennes  !  à  quels  battements  l'introduction  de  cette 
gamme  ne  conduirait-elle  pas? 

La  vérité,  c'est  que  les  musiciens  ne  se  rendent  pas  un 
compte  bien  exact  de  ce  qu'ils  disent.  Au  fond  ils  veulent 
que,  non  pas  tous  les  dièses,  mais  certain  dièse  soit  plus 
haut  qu'il  ne  l'est  d'après  la  gamme  de  Zarlin,  ce  dièse  étant 
précisément  la  sensible.  .Malheureusement  il  est  impossible 
de  concilier  leurs  désirs  avec  les  néces-ilés  de  construction 
des  instruments  à  sons  fixes. 


57.  Tempérament  dans  la  gamme  de  Pythagore.  Gamme 
d'Euler.  —  La  gamme  à  21  sons  de  Pythagore  (je  rie  veux 
pas  dire  par  là  que  PylhagDre  connût  la  gamme  à  21  sons, 
la  modulation  étant  ignorée  des  Grecs)  ne  peut  servir  sur 
les  instruments  à  sons  fixes.  Il  faut  la  tempérer  pour  ra- 
mener à  12  le  nombre  des  sons  à  l'octave.  J'indiquerai  le 
système  d'Euler  comme  une  généralisation  de  la  construc- 
tion de  la  gamme  par  des  puissances  de  2  et  de  3.  et  comme 
un  exemple  de  ces  fausses  théories  qui  ont  l'air  d'une  expli- 
cation et  n'expliquent  rien. 

Voici  comment  Ruler  s'exprime  dans  ses  Lettres  à  une 
princesse  d'Allemagne  (lettre  IV)  :  «  Quand  l'oreille  dé- 
couvre aisément  un  rapport  qui  règne  entre  les  sons,  leur 
accord  est  nommé  une  consonance  ;  et,  quand  ce  rapport  e-t 
très  difficile  à  découvrir  ou  même  impossible,  l'accord  est 


MODULATION    ET   TRANSPOSITION,    ETC.  g3 

nommé  dissonance.  »  Euler  oublie  de  dire  par  quelle  opéra- 
tion mystérieuse  l'âme  parvient  à  calculer  le  rapport  numé- 
rique de  deux  hauteurs.  Quoi  qu'il  en  soit.  Pvlhagore  ob- 
tient toutes  les  notes  en  multipliant  la  hauteur  de  la  tonique 
par  des  expressions  de  la  forme  2a3rl,  où  a  et  3  sont  des 
nombres  entiers  convenables  (élévation  ou  abaissement  d'un 
certain  nombre  de  quintes  et  d'octaves);  Euler  généralise  et 
obtient  tous  les  sons  en  multipliant  la  hauteur  de  la  tonique 
par  des  expressions  de  la  forme  2a3<J5'!'.  Pourquoi  s'arrêter 
en  si  beau  chemin?  «  Si  l'on  voulait,  ajoute-l-il,  introduire 
encore  le  nombre  -.  le  nombre  des  tons  d'une  octave  devien- 
drait plus  grand  et  toute  la  musique  en  serait  portée  à  un 
plus  haut  degré,  o  Dieu  nous  garde  de  ce  plus  haut  degré! 
Voici  les  12  sons  que  lui  fournit  sa  règle;  les  intervalles 
sont  exprimés  en  savarts  : 

fa.      /a=- 3  s°l-       sol'. 

i25         i-18         j -6         1 94 

28  23  28  18  28 

Cette  gamme  coïncide  évidemment  avec  celle  de  Pylhagore 
pour  v=  o;  elle  fournit  en  plus  les  sons  intermédiaires.  Je 
les  ai  notés  en  dièses;  il  serait  plus  rationnel  de  leur  donner 
de  nouveaux  noms,  car  ce  ne  sont  par  nature  ni  des  dièses  ni 
des  bémols. 

Il  est  inutile  d'insister  sur  de  telles  divagations.  A  propos 
de  la  vertu  des  nombres  entiers  petits,  faisons  seulement 
remarquer  avec  Helmholtz  qu'une  consonance  peu  altérée 
sonne  à  peu  près  aussi  bien  qu'une  consonance  juste  et 
mieux  qu'une  plus  fortement  altérée,  quoiqiien  général  le 
rapport  numérique  qui  exprime  l'accord  atteigne  sa  plus 
grande  complication  par  une  faible  altération.  L  oreille 
serait  donc  capable  de  distinguer,  non  seulement  que  l'in- 
tervalle est  simple  on  non,  mais  encore  que  l'intervalle  com- 
plexe diffère  peu  de  s'exprimer  par  une  fraction  simple;  ce 
qui  est  une  hypothèse  bien  singulière. 


ut',      ré. 

ré'.      mi. 

18    5i 

69    97 

B    33 

18    28 

la. 

la'. 

si. 

ul. 

222 

23 

245 

28 

273 

28 

3oi 

t»4  CHAPITRE    VII. 

CHAPITRE  VIL 

OBTENTION    DES    SONS.    TOLÉRANCE   DE   L'OREILLE. 
PRÉCISION    Dl"    MÉCANISME. 

58.  Précision  avec  laquelle  l'oreille  reconnaît  un  inter- 
valle. —  Nous  avons  tous  appris  dans  les  traités  élémentaires 
que  le  com ma,  soit  5  savarts,  est  à  la  limite  des  intervalles 
négligeables.  On  trouve  cette  affirmation  même  dans  des 
ouvrages  signés  par  des  musiciens.  M.  Lavignac  écrit  (Mu— 
sique  et  Musiciens,  p.  6)  )  que  «  le  comma  approche  telle- 
ment de  la  limite  d'appréciation  des  sons,  que,  tout  en  recoru.  ; 
naissant  mathématiquement  son  existence,  on  peut  musica- 
lement le  considérer  comme  négligeable  ».  Si  le  comma  est 
un  intervalle  négligeable,  pourquoi  se  dispule-t-on  depuis 
des  siècles  sur  la  meilleure  gamme,  puisque  les  deux  gammes 
les  plus  différentes  qui  aient  été  proposées,  la  gamine  de 
Pythagore  et  la  gamme  de  Zarlin,  ne  diffèrent  que  d'un 
comma,  et  encore  pour  trois  seulement  des  sept  degrés,  le 
mi,  le  la  et  le  si? 

11  est  vrai  que  d'autres  physiciens  et  d'autres  musiciens 
tombent  dans  une  erreur  opposée  et  non  moins  étrangère. 
On  lit  dans  Helmholtz  (p.  i83)  que  des  oreilles  exercées 
peuvent  encore  percevoir  une  différence  de  hauteur  corres- 
pondant au  rapport  des  nombres  de  vibrations  iooo  et  iooi. 
Le  plus  petit  écart  perceptible  serait  donc  de 

iooolog(iooi  '  iooo)  =  oa,  43, 

environ  un  demi-savart.  Le  comma  valant  exactement 

1000  log(8i  :  80)=  57, 4, 

une  oreille  très  exercée  pourrait  reconnaître  1  :  i3  de  comma. 
Proposition  qui,  présentée  d'une  manière  absolue,  est  gros- 
sièrement erronée  et  dont  Helmholtz  d'ailleurs  n'est  pas 
responsable. 

En  effet,  plusieurs  distinctions  s'imposent. 

Il  faut  d'abord  séparer  nettement  la  possibilité  de  recon- 
naître certains  intervalles  quand  les  sons  sont  maintenus 
simultanément  et  indéfiniment,  de  la  possibilité  de  les 
reconnaître,  quand  ils  sont  émis  l'un  après  l'autre;  dans  le 


OBTENTION    DES    SONS.    TOLÉRANCE    DE   L'OREILLE.  g5 

premier  cas,   la  .mémoire   n'intervient   pas,    dans    le   second 
s o n  r ô|e__HSt_j-i réd n m i n_g  n  t . 

Tl  faut  en  second  lieu  distinguer  les  intervalles;  si  Ja  théorie 
de  l'affinité  des  sons  développée  au  Chapitre  IV  est  exacte,  il 
est  clair  qu'on  reconnaîtra  bien  plus  aisément  la  parenté  de 
deux  sons  faisant  approximativement  l'unisson,  l'octave  ou 
la  quinte,  que  la  parenté  de  deux  sons  faisant  une  seconde. 
On  ne  peut  donc  pas  parler  absolument  d'une  erreur  limite 
à  laquelle  près  l'oreille  apprécie  un  intervalle  ;  il  y  a  pour 
chaque  intervalle  une  erreur  limite  particulière. 

Enfin  nous  savons  qu'il  existe  des  procédés  physiques  (bat- 
tements, résonance,  etc.).  grâce  auxquels  on  reconnaît  objec- 
tivement l'exactitude  de  certains  intervalles  et  qui  n'ont  rien 
à  voir  avec  la  justesse  et  la  sensibilité  artistiques  de  l'oreille. 
Je  ne  dis  pas  qu'une  telle  expérience  est  aisée;  mais  les  qua 
lités  qu'elle  suppose  à  l'oreille  sont  d'un  ordre  différent. 

Ces  considérations  suffisent  à  nous  rendre  prudents  dans 
l'énoncé  de  limites  générales. 


59.  Erreur  dans  la  longueur  des  cordes  correspondant  à 
l'intervalle  d'un  comma.  —  Avant  d'aller  plus  loin,  il  faut 
préciser  l'erreur  sur  la  longueur  d'une  corde  de  violon  ou  de 
violoncelle  qui  entraîne  une  erreur  d'un  comma.  Le  comma 
valant  81  '.  80  et,  pour  une  tension  donnée,  les  hauteurs  des 
sons  fournis  p-ar  une  corde  étant  en  raison  inverse  des  lon- 
gueurs, une  erreur  d'un  comma  correspond  à  une  erreur 
de  1  :  80  sur  la  longueur  de  la  corde.  La  longueur  d'une 
corde  de  violon  est  voisine  de  4ocm  et  celle  d'une  corde  de 
violoncelle  voisine  de  70e111;  donc,  quand  on  veut  un  son  plus 
haut  d'un  comma  que  le  son  à  vide,  il  faut  appuyer  le  doigt 
sur  la  touche  de  manière  à  raccourcir  la  partie  vibrante  de 
a  corde  de  5mm  pour  le  violon,  de  près  de  qmm  pour  le  vio- 
loncelle. Ce  sont  évidemment  là  des  quantités  fort  appré- 
ciables. Mais  il  est  clair  que,  si  l'on  part,  non  plus  de  la  corde 
à  vide,  mais  d'un  son  à  l'octave  du  son  à  vide,  la  corde  utile 
étant  alors  moitié  moins  longue,  l'écart  qui  correspond  à  une 
erreur  d'un  comma  n'est  plus  que  de  2mm,5  pour  le  violon, 
4mn>,4  pour  le  violoncelle. 

Dans  les  mêmes  conditions,  quand  on  veut  limiter  l'erreur 
à  un  savart,  il  ne  faut  pas  hésiter  sur  la  position  du  doigl  de 


A 


"T 


96 


(  11  M'i'riii;  \  11. 


la  cinquième  partie  des  longueurs  ci-dessus  indiquées,  ce  qui 
représente  une  précision  remarquable,  surtout  dans  les  mou- 
vements rapides. 

Enfin  si  l'on  remarque  :  i°  que  la  délimitation  de  la  corde 
l>;n-  le  bout  du  doigt  est  toujours  assez  imparfaite,  à  tel  point 
(|u  il  suffit  sa/ts  déplacer  le  doigt  de  faire  Osciller  la  main, 
pour  produire  un  véritable  trémolo  (procédé  dont  s'abstien- 
draient les  violons  et  violoncelles  s'ils  respectaient  les  oreilles 
de  leurs  auditeurs,  mais  dont  ils  connaissent  l'effet  certain 
sur  un  public  vulgaire);  20  que  les  cordes  ne  sont  jamais 
^/homogènes,  c'est-à-dire  n'ont  pas  tout  de  leur  long  rigou- 
reusement le  même  poids  par  unité  de  longueur;  on  sera 
tout  disposé  à  admettre  que  la  précision  avec  laquelle  il  est 
possible  de  donner  mélodiquement  un  intervalle  sur  le  violon 
est  assez  restreinte  et  ne  doit  pas  dépasser  quelques  savarls. 
Ceci,  indépendamment  de  la  justesse  de  l'oreille,  mais  sim- 
plement comme  difficulté  matérielle  de  réaliser  des  cordes 
homogènes  et  de  délimiter  une  longueur  donnée  sur  la  corde. 

GO.  Position  des  doigts  sur  la  touche  d'un  violoncelle 
pour  la  gamme  naturelle,  la  gamme  tempérée  et  la 
gamme  de  Pythagore.  —  Pour  mieux  fixer  les  idées,  j'ai 
calculé  sur  le  violoncelle  les  longueurs  des  cordes  pour  la 
gamme  naturelle,  la  gamme  bien  tempérée  et  la  gamme  de 
Pvthagore.  L'octave  considérée  est  celle  qui  part  de  la  corde 
à  vide  dont  la  longueur  est  ora,  70,  corde  supposée  accordée 
sur  un  ut.  Les  longueurs  à  vide  des  cordes  de  violon  étant 
de  4°cm  environ,  pour  obtenir  les  distances  sur  un  violon, 
il  faudra  prendre  4  :  7  des  longueurs  indiquées.  Elles  sont 
données  en  millimètres. 


ut.          ré.           mi.          fa.         sol.           la.           si. 

ul 

G. 

naturelle  .... 

700         622         56o         525          467          i'20         373 

3> 

A 

78          62           35           58           47           47           23 

G. 

tempérée  .... 

700        624         556         525         467         417         371 

3> 

G. 

de  P\thagore. 

700        622         554         525        467         4 '5         369 

3o 

La   quant 

ité  dont  il  faut  déplacer  le  doigt  pour  passer  de 

la  gamme  naturelle  à  la   gamme   tempérée   n'est  pas  infini- 

ment petite 

,  puisque  pour  le  mi  il  s'agit  de  ^.mm.  Toutefois 

il  ne  faut  pas  oublier  :  i°  que  le  calcul  est  fait  pour  le  vio- 

loncelle et 

que  pour  le  violon  les  distances  sont  à  peu  près 

OBTENTION    DES   SONS.    TOLERANCE    DE   L  OREILLE.  97 

divisées  par  deux;  2°  qu'il  s'agit  de  l'octave  qui  commence  à 
la  corde  à  vide;  plus  on  descend  vers  le  chevalet,  plus  la 
corde  est  courte  et  plus  les  positions  des  doigts  se  rappro- 
chent pour  le  même  intervalle. 

61.  Intervalles  effectivement  donnés  par  un  instrument 
à  sons  variables.  —  Tout  le  monde  est  d'accord  pour  recon- 
naître qu'/m  musicien  exercé  utilisant  un  instrument  à 
sons  variables  capable  de  donner  des  accords,  et  deux  mu- 
siciens exercés  faisant  un  accord,  émettent  l'accord  na- 
turel, celui  qui  est  défini  par  les  harmoniques. 

Le  débat  ne  commence  que  pour  les  intervalles  dont  les 
sons  constituants  sont  émis  l'un  après  l'autre,  intervalles 
que  pour  abréger  nous  appellerons  mélodiques.  Nous  con- 
sidérons comme  théoriquement  inadmissible  l'opinion  dé- 
fendue en  France  par  Cornu  et  Mercadier,  que  les  inter- 
valles mélodiques  sont  les  intervalles  pythagoriciens.  Les 
résultats  expérimentaux  de  ces  physiciens  (i)  prouvent 
.        _  .     . 

(')  J'ai  discuté  leurs  Mémoire?  au  cours  d'un  article  paru  dans  la 
Bévue  générale  des  Sciences  (mars,  1906)  auquel  je  renvoie  le  lecteur. 
L'opinion  de  ces  auteurs  est  radicalement  inconciliable  avec  la  théorie 
ici  développée,  qui  est  soutenue  par  un  respectable  faisceau  de  preuves. 
M.  Mercadier  a  promis  une  réponse  à  mes  critiques.  Je  ne  peux  qu'ap- 
plaudir pourvu  que  le  débat  ne  s'égare  pas.  En  particulier  il  ne  faut  pas 
que  la  thèse  de  MM.  Cornu  et  Mercadier.  suprématie  mélodique  de  la 
gamme  de  Pythagore,  se  confonde  avec  la  thèse  quasiment  opposée, 
non  existence  d'une  gamme  mélodique  privilégiée,  indétermination 
des  intervalles  mélodiques.  Celle-ci  est,  à  quelques  égards,  aisément 
défendable.  Par  exemple,  il  est  certain  que  les  notes  essentiellement 
mélodiques  des  traités  d'harmonie  (notes  de  passage,  ornements,  bro- 
deries, trilles, )  sont,  par  essence,  indéterminées.  Quand,  pour  orner 

un  mi.  on  chante  mi,  ré',  mi.  fa,  mi,  rien  ne  s'oppose  à  ce  qu'on  rap- 
proche presque  indéfiniment  le  ré'  et  le  fa  du  mi  qu'on  veut  orner.'  1 
Le  trille  peut  se  faire  avec  un  intervalle  arbitraire,  et  les  chanteurs 
usent  de  la  permission  sans  se  gêner.  A  la  limite  n'avons-nous  pas  le 
glissé  des  instruments  à  corde  qui  remplit  un  intervalle  par  une  suc- 
cession continue  de  sons.  Il  est  certain  du  reste  que  le  si  de  la  gamme 
d'ut  majeur  n'a  pas  la  même  hauteur  en  montant  qu'en  descendant, 
//attiré  qu'il  est  par  sa  résolution  dans  la  gamme  montante.  Ces  faits  ne 
'sont  ni  contestables  ni  contestés,  sauf  précisément  pur  MM.  Cornu 
et  Mercadier  qui  veulent  que  ces  notes  appartiennent  à  la  gamme 
de  Pythagore.  Si  leur  thèse  n'a  pas  ce  sens,  je  ne  sais  pi  us  ce  qu'elle 
signifie.  Or,  la  théorie  d'Helmholtz  apprend  les  raisons  qu'il  y  a  de  pré- 
férer certains  intervalles,  de  choisir  une  certaine  gamme;  elle  laisse 
arbitraire  un  choix  différent  quand  les  raisons  qu'elle  invoque  n'inter- 
viennent pas;  ce  qui  est  le  cas  dans  les  exemples  cités. 

Scientia,  n*  28.  7 


ij8  CHAPITRE    VII. 

seulement  :  i°  qu'il  v  a  une  incertitude  notable  dans  les 
intervalles  fournis  mélodiguement,  incertitude  qui  s'élève 
à  un  comma  et  dont  on  peul  attribuer  une  bonne  part  à  la 
mauvaise  définition  de  la  longueur  de  la  corde  vibrante  et 
sa  non  parfaite  homogénéité;  2°  que  les  sons  émis  l'un  après 
l'autre  sont,  par  rapport  à  la  tonique,  plus  Jiauts  que  ne 
l'exige  la  gamme  naturelle,  sans  qu'il  soit  possible  d'affirmer 
qu'ils  appartiennent  plutôt  à  la  gamme  tempérée  qu'à  la 
gamme  pythagoricienne.  Ces  conclusions  ne  valent  stricte- 
ment que  pour  les  musiciens  sur  lesquels  ils  ont  expéri- 
menté; nous  les  admettrons,  si  l'on  veut,  comme  générales. 
Helmholtz  prétend  cependant  que  des  musiciens  ac- 
complis fournissent  mélodiguement  la  gamme  naturelle. 
Tâchons  d'éclaircir  cette  question. 


62.  Habitude  du  mécanisme.  —  Qu'on  réfléchisse  à  la 
manière  dont  s'exécute  un  intervalle  sur  un  instrument  à 
sons  variables,  voix  ou  corde. 

i°  Le  musicien  doit  avoir  une  représentation  nette  du  son 
qu'il  veut  produire; 

2°  11  doit  savoir  à  quelle  position  du  doigt  (violon,  violon- 
celle), de  la  main  (trombone  à  coulisse,  cor),  à  quelle  forme 
de  la  cavité  buccale,  à  quelle  tension  des  cordes  vocales 
(voix)  correspond  un  son  pensé. 

Ces  mêmes  opérations  se  retrouvent,  mais  à  un  degré  ru- 
dimentaire,  dans  l'emploi  des  instruments  à  sons  fixes  : 
l'analyse  de  ce  cas  facilite  la  discussion  du  cas  général.  Ad- 
mettons qu'un  pianiste  ail  un  doigt  sur  une  touche,  V ut  par 
exemple.  Il  voit  sur  la  portée  un  soi]  il  doit  faire  deux  opé- 
rations :  se  représenter  l'intervalle  ut  sol  (intentionnellement 
je  ne  spécifie  pas  comment);  donner  à  ses  doigts  l'écar- 
tement  correspondant.  Remarquons  qu'ici  la  représenta- 
tion ut  sol  peut  ne  pas  faire  intervenir  les  propriétés  de 
l'oreille;  on  peut  supposer  par  exemple  que  le  pianiste  soit 
sourd,  qu'il  sache  seulement  l'écriture  des  notes  et  leur  posi- 
tion sur  le  piano.  En  second  lieu,  il  y  a  une  assez  grande  to- 
lérance dans  la  position  du  doigt;  c'est  même  la  grandeur  de 
cette  tolérance  qui  caractérise  l'instrument  à  sons  fixes  au 
point  de  vue  de  l'exécution. 

Passons  à  un  instrument  à  sons  variables. 


OBTENTION    DES    SONS.    TOLEKANCB  .  DCE'ùaiînLEE.Uh.        M  vj  X  I  K  LA  L. 

On  peut  en  un  sens  chercher  à  le  tfcàii'sfçurmer-en  aVSns^'-  "' 
trument  à  sons  fixes.  Il  suffit  pour  cela  d'amener  le  musicien 
ii  faire  correspondre  automatiquement  à  une  notation  musi- 
cale une  position  du  doigt.  Si  l'on  parvient  à  transformer 
rigoureusement  l'exécutant  en  un  tel  automate,  il  est  clair 
que  l'oreille  n'intervient  plus;  on  peut  supposer  qu'il  de- 
vienne sourd,  son  jeu  n'en  restera  pas  moins  correct.  Mais 
les  intervalles  se  trouvent  dès  lors  fixés  d'une  manière  rigide  : 
l'instrument  présente  les  avantages  caractéristiques  des  ins- 
truments à  sons  fixes;  il  en  présente  aussi  tous  les  inconvé- 
nients. 

On  peut  au  contraire  chercher  à  développer  le  rôle  de 
l'oreille.  L'éducation  est  alors  toute  différente  et  infiniment 
plus  difficile  :  on  suppose  que  l'exécutant  pense  l'intervalle 
■actuellement  le  meilleur  parmi  tous  les  intervalles  syno- 
nymes  et  qu'il  sait  la  correspondance  exacte  entre  un  inter- 
valle pensé  et  la  position  du  doigt  sur  la  touche,  plus  géné- 
ralement la  disposition  du  mécanisme  quelconque  employé 
pour  produire  le  son. 

-  Il  v  a  entre  ces  deux  conceptions  du  musicien  toute  la 
différence  qui  existe  entre  un  manœuvre  et  un  artiste.  Disons 
tout  de  suite  que  le  manoeuvre  est  la  règle,  l'artiste  la  rare 
exception;  le  bon  manœuvre  n'est  déjà  pas  ordinaire. 

On  conçoit  donc  que  l'éducation  reçue  dans  les  conserva- 
toires, éducation  qui  s'adresse  à  la  masse  et  par  conséquent 
à  la  médiocrité,  tende  à  faire  d'honorables  manœuvres.  Aussi 
la  préoccupation  avouée  de  la  plupart  des  violonistes  est  de 
ne  distinguer  que  douze  sons  à  l'octave,  par  conséquent 
douze  positions  invariables  des  doigts  sur  la  touche  à  l'in- 
térieur de  chaque  octave. 

La  conclusion  qui  s'impose  est  le  choix  de  la  gamme  tem- 
pérée ou  d'une  gamme  qui  se  rapproche  le  plus  possible  de  la 
tempérée  dans  les  instruments,  comme  le  violon,  qui  admet- 
tent déjà  des  quintes  naturelles  (cordes  à  vide).  Naturel- 
lement le  mécanisme  du  musicien  ayant  été  assoupli  pour  ce 
but.  rien  d'étonnant  qu'il  fournisse  des  intervalles  mélodiques 
qui  soient  plus  hauts  que  les  intervalles  naturels.  C'est,,  en 
particulier,  ce  qu'il  fait  dans  tous  les  mouvements  rapides 
pour  lesquels,  si  artiste  qu'il  soit,  son  instinct  n'a  pas  maté- 
riellement le  temps  de  décider  quel  est  le  meilleur  intervalle 


]00  i  HAP1TRH   VII. 

parmi   les   synonymes:    il  choisit  celui  auquel  il  est  le   plus 

accoutumé. 

Mais  qu'il  s'agisse  d'accords,  le  sentiment  musical,  s'il  est 

juste,   l'emporte  sur  l'éducation  des  muscles,  et   après   un 

tâtonnement,  d'autant  plus  court   que   la   représentation 

préliminaire  de  l'intervalle  musical  était  plus  nette,   le 

musicien  donne  l'intervalle  naturel. 

D'innombrables  expériences  ont  été  faites  à  ce  sujet,- 
elles  conduisent  toutes  aux  mêmes  conclusions,  y  compris 
les  expériences  de  Cornu  et  Mercadier. 

En  définitive  on  peut  considérer  comme  établies  les  quatre 
propositions  suivantes  : 

10  Les  intervalles  théoriques  sont  parfaitement  reconnus 
par  une  oreille  délicate. 

2°  Les  erreurs  de  la  gamme  tempérée  sont  réellement 
appréciables  et  désagréables  pour  une  oreille  juste. 
.;    3°  Malgré  le  peu  de  différence  des  intervalles  pris  isolé- 
l/^  ment,  il  est  plus  facile  de  chanter  juste  suivant  la  gamme 
naturelle  que  suivant  la  gamme  tempérée. 

4°  La  gamme  de  Pythagore  ne  se  soutient  ni  en  théorie 
ni  en  pratique. 


CHAPITRE  VIII. 

MESURE,    RYTHME,    INSTRUMENTS    DE    PERCUSSION. 

63.  Temps.  Valeurs  relatives  des  notes.  —  Les  sons  for- 
mant une  mélodie  ou  un  système  d'accords  se  succèdent  dans 
le  temps;  l'effet  esthétique  dépend  essentiellement  de  la  loi 
de  succession.  Quelle  que  soit  la  cause  de  nos  sentiments 
agréables  ou  désagréables,  nous  réclamons  expressément 
une  certaine  symétrie  dan  sla  distribution  des  sons,  envi- 
sagés uniquement  par  rapport  à  leur  distribution  dans  le 
temps,  indépendamment  de  leur  hauteur  et  de  leur  inten- 
sité. 

La  manière  la  plus  simple  de  satisfaire  ce  désir  consiste  à 
grouper  les  sons  dans  des  intervalles  égaux  de  durée,  dont 


MESURE,    RYTHME,    INSTRUMENTS    DE    PERCUSSION.  IOI 

on  fixe  convention/tellement  la  valeur  absolue  au  début  de 
•chaque  morceau  et  qu'on  appelle  des  temps. 

Chaque  temps  contient  un  certain  nombre  de  notes  :  il 
faut  donc  indiquer  par  des  figures  particulières  la  durée 
relative  des  notes,  ce  qu'on  appelle  leur  valeur.  Voici  ces 
figures  et  leur  noms.  Les  signes  appelés  silences,  qui  rem- 
plissent les  durées   où    ne    se    produit   aucun    son,   ont    des 


Notes 


Silences 


Fig.  4. 

I  Z  \  8  16  3Z 

Ronde         Blsncfie  Afo/re       Croche       Double  Cr.      Triple  Cr.       Note  pointée 


^m 


Pause      /z  Pause         Soupir       &  Soupir    ASoup/r  /s  Soupir 


i 


S 


P^PPP 


valeurs  égales  aux  notes  sous  lesquelles  ils  se  trouvent  dans 
le  Tableau. 

Il  est  convenu,  à  moins  d'indications  contraires,  que  la 
ronde  vaut  2  blanches,  la  blanche  vaut  2  noires,  la  noire 
2  croches,  et  ainsi  de  suite;  d'où  résulte  qu'une  ronde 
vaut  4  noires,  8  croches,  16  doubles  croches,  32  triples 
croches,  64  quadruples  croches,  etc.  Ce  système  de  valeurs 
relatives  s'appelle  binaire;  c'est  le  plus  usité. 

Un  point  placé  après  une  note  (note  pointée)  augmente  sa 
valeur  de  moitié. 

Mais  on  conçoit  que  le  système  binaire  limite  l'indépen- 
dance du  musicien.  Par  exemple,  il  veut  répartir  la  durée 
d'une  ronde,  non  plus  en  deux  parties  égales,  mais  en  3,  5, 
6.  -;  faire  correspondre  à  une  ronde  de  l'une  des  parties 
musicales,  3,  5,  6,  7  notes  d'égales  durées.  Ce  que  nous 
venons  de  dire  de  la  ronde  s'appliquant  à  la  blanche,  la 
noire,  etc.,  on  conçoit  qu'il  aurait  fallu  créer  un  nombre 
très  grand  de  signes  nouveaux  pour  satisfaire  tous  les  besoins. 


UIAI'JTIti:    VIII. 


On  a  préféré  un  artifice  qui  fait  le  désespoir  des  logiciens, 

m. lis  que  la  pratique  montre  excellent;  car  il  ne  faut  pas 
oublier  que  l'étude  d'un  instrument  est  un  labeur  de  si 
longue  haleine  qu'on  a  tout  le  temps  de  s'habituer  aux 
oetites  difficultés  des  conventions  d'écriture. 

Pour  séparer  une  blanche  en  3  parties,  on  écrit  trois  noires 
avec  le  chiffre  3  sur  ou  sous  la  noire  du  milieu;  pour  la 
séparer  en  six  parties,  ou  pour  séparer  une  noire  en  3  parties, 
on  opère  de  même  avec  des  croches. 

Pour  séparer  une  blanche  en  5  ou  7  parties,  on  écrit  5  ou 
n  croches  dont  on  rassemble  les  queues  et  sous  lesquelles  on 
inscrit  le  chiffre  5  ou  le  chiffre  rj.  Cela  revient  à  convenir 
qu'une  note  (la  croche  par  exemple)  a  ordinairement  sa 
valeur  dans  la  division  binaire  (qu'elle  vaut  ~  de  blanche); 
mais  qu'elle  peut  avoir  aussi  des  valeurs  inférieures  com- 
prises entre  le  maximum  précédent  et  la  valeur  de  la  note 
qui  la  suit  dans  la  figure  /j  (la  double  croche  par  conséquent 
qui  vaut  £  de  blanche)  ;  cette  valeur  exceptionnelle  est  indi- 
quée par  un  chiffre. 

Ce  que  nous  venons  de  dire  pour  la  blanche  s'applique  à 
une  note  de  valeur  quelconque.  Ces  conventions  présentent 
si  peu  d'ambiguïté  qu'on  néglige  d'inscrire  le  chiffre  ou 
qu'on  ne  l'inscrit  qu'une  fois  pour  toutes,  lorsque  la  division 
indiquée  se  reproduit  de  suite  un  grand  nombre  de  fois. 

Le  temps  contient  tout  le  long  d'un  morceau  musical  des 
notes  et  des  silences  dont  la  somme  des  valeurs  est  con- 
stante; il  contient  par  exemple  une  noire,  ou  deux  croches, 
ou  une  croche  et  un  demi-soupir,  ou  une  croche  pointée  et 
un  quart  de  soupir,  ou  3  croches  reliées  avec  le  chiffre  3 
souscrit,  etc.  Comme  tout  le  long  du  morceau,  à  moins  d'in- 
dications contraires,  le  temps  conserve  une  valeur  absolue 
fixée  au  début,  chaque  signe  de  valeur  (note  ou  silence) 
conserve  aussi  tout  le  long  du  morceau  la  même  valeur 
absolue. 

Gi.  Détermination  de  la  valeur  absolue  du  «  temps  ».  Mé- 
tronome. —  Il  revient  donc  au  même  d'indiquer  la  valeur  soit 
du  temps,  soit  de  l'un  des  signes  de  durée.  La  seconde  con- 
vention   est   généralement    préférée;    on   exprime    la   valeur 

d'un  des  signes  au  choix  en  n'Pmes  de  minute  I       1  :  on  inscrit 


MESURE,    RYTHME,    INSTRUMENTS    DE    PERCUSSION.  Io3 

sur  la  partition  le  dénominateur  n.  Ainsi  l'indication  ^  =  ioo 
veut  dire  que  la  valeur  d'une  noire  est  un  centième  de  mi- 
nute, ou  qu'on  doit  exécuter  ioo  noires  en  une  minute. 

Pour  déterminer  les  fractions  de  minute,  on  utilise  le  mé- 
tronome. C'est  un  pendule  vertical  ABC  d'axe  B,  dont  un 
ressort  entretient  le  mouvement  par  l'intermédiaire  d'une 
roue  d'échappement  et  dont  on  peut  faire  varier  aisément  la 


Fis.  5. 


Masse/oltè 


période  par  le  déplacement  de  la  masselotle  M  le  long  de  la 
tiireAB.  Une  graduation  en  papier,  fixée  verticalement  sur 
le  support  de  l'instrument  derrière  la  position  d'équilibre 
de  la  tige,  permet  de  donner  a  la  masselotte  une  position 
connue  à  l'avance.  La  graduation  est  faite  de  manière  que,  si 
le  bord  supérieur  de  la  masselotle  affleure  au  trait  marqué  n, 
le  pendule  fait  /i  battements  par  minute. 

La  relation  théorique  entre  la  position  de  la  masselotle  et 


1(>4  CHAPITRE   VIII. 

le  nombre  n  de  battements  par  minute  est  représentée  par- 
une  courbe  telle  que  O78.  Pour  la  position  0  du  bord  supé- 
rieur de  la  masselotte  (à  supposer  que  la  tige  BA  soit  assez 
longue  pour  l'atteindre),  le  centre  de  gravité  est  reporté  en  B, 
la  durée  d'oscillation  est  infinie,  n  —  o.  Pi.  partir  de  cette 
position,  la  courbe  O70  des  n  s'écarte  d'abord  très  vite  de 
la  droite  de  référence  OB,  puis  se  confond  très  sensiblement 
avec  une  droite  entre  deux  positions  CdD  de  la  masse- 
lotte.  Cette  circonstance  est  utilisée  industriellement  pour 
obtenir  rapidement  la  graduation;  on  s'arrange,  par  un  eboix 
convenable  de  la  masse  mobile  par  rapport  au  reste  du  pen- 
dule, de  manière  que  la  partie  rectiligne  soit  comprise  entre 
les  valeurs  utiles  n  =  ^o,  n  =  200. 

Le  métronome  est  un  instrument  très  remarquable  et  d'une 
précision  plus  que  suffisante  pour  son  rôle.  Il  présente  des 
inconvénients  auxquels  il  est  facile  de  remédier.  Sa  gra- 
duation est  généralement  faite  sans  soin  et  par  des  gens  peu 
au  courant  de  la  théorie;  mais  c'est  l'affaire  d'une  demi-heure 
de  construire  une  table  ou  une  courbe  de  correction.  Un 
défaut  plus  grave  provient  de  ce  que  les  oscillations  ne  sont 
pas  très  petites  :  par  conséquent  leur  durée  dépend  de  l'am- 
plitude qui  dépend  elle-même  de  l'état  plus  ou  moins  bandé 
du  ressort.  Si  l'on  répugne  à  compliquer  le  mécanisme  par 
l'adjonction  d'une  fusée,  il  suffit  avant  d'employer  l'appareil 
de  ramener  toujours  le  ressort  au  même  état  et  pour  cela  de 
remonter  à  fond. 

Dans  ces  derniers  temps  on  a  déclaré  indispensable  pour 
la  pratique  musicale  de  posséder  un  instrument  plus  parfait. 
Ce  souci  est  passablement  risible  :  les  erreurs  de  graduation 
du  métronome  n'atteignent  pas  ±  entre  n  =  60  et  n  =  120; 
l'influence  de  l'état  du  ressort  est  du  même  ordre.  Quand  on 
réfléchit  à  la  différence  des  mouvements  d'une  œuvre  exécutée 
par  deux  chefs  d'orchestre,  au  peu  de  précision  des  indica- 
tions fournies  par  les  auteurs  (le  plus  grand  nombre  emploie 
des  termes  très  vagues  dont  nous  parlerons  plus  loin),  on 
regrette  que  des  constructeurs  perdent  leur  temps  à  étudier 
de;  soi-disant  pendules  simples,  au  lieu  de  perfectionner  le 
métronome,  s'ils  sont  en  mal  de  précision. 

65.  Mesure,  rythme,  phrase  musicale.   —  11  ne  suffit  pas 


MESURE,    RYTHME.    INSTRUMENTS   DE    PERCUSSION.  105 

pour  notre  besoin  de  symétrie  que  les  sons  soient  groupés 
dans  des  intervalles  égaux  de  durée.  D'ailleurs,  pour  que  cette 
symétrie  élémentaire  (à  laquelle  est  réduit  le  récitatif  le  plus 
simple)  soit  nettement  perceptible  et  agréable,  il  faut  qu'à 
l'intérieur  du  temps  les  sons  soient  eux-mêmes  groupés  avec 
une  certaine  régularité,  ne  serait-ce  que  dans  les  parties 
d'accompagnement.  Les  temps  deviennent  ainsi  les  éléments 
primordiaux  de  la  construction  musicale,  cléments  diffé- 
rents les  uns  des  autres,  mais  se  reproduisant  à  peu  près 
suivant  une  loi  périodique. 

Cette  périodicité  permet  de  grouper  les  temps  en  éléments 
d'ordre  supérieur  qu'on  appelle  mesures.  Les  temps  se  dis- 
tribuent donc  dans  la  mesure  avec  une  certaine  symétrie, 
ce  qui  implique  que  la  mesure  contienne  toujours  le  même 
nombre  de  temps. 

Les  mesures  se  groupent  quatre  par  quatre  en  demi- 
périodes:  deux  demi-périodes  forment  une  période:  enfin 
deux  périodes  forment  une  phrase.  Ce  système  de  groupe- 
ment binaire  des  mesures  est  autant  dire  le  seul  usité,  mais 
rien  n'empêche  le  musicien  de  réaliser  des  groupements  ter- 
naires ou  quinaires. 

Revenons  à  la  mesure  qui  est  le  premier  élément  uniforme 
de  construction  ;  il  faut  entendre  par  là,  non  que  les  mesures 
se  reproduisent  identiques  à  elles-mêmes,  mais  qu'elles  ont, 
dans  leur  structure,  une  symétrie  commune.  Cet  ordre  dans 
le  mouvement,  cette  périodicité  s'appelle  le  rythme. 

Le  rythme  réside  dans  la  distribution,  non  seulement  des 
sons  par  rapport  à  leur  durée,  mais  encore  des  temps  forts 
par  rapport  aux  temps  faibles.  Un  exemple  simple  fixera  les 
idées. 

La  mesure  de  la  vahe  est  à  3  temps  et  contient  3  noires, 

ce  qu'on  indique  en  plaçant  près  de  l'armure  de  clef  de  la 

3 
première  portée  le   signe  -•  Le   rvthme   de  la -valse  est  de 

4 

deux  espèces. 

Le  premier  temps  de  la  mesure  est.  toujours  fort  :  on 
obtient  ce  résultat  par  l'intensité,  par  la  gravité,  par  le 
timbre  des  sons  marquant  le  début  de  ce  premier  temps; 
on  l'obtient  encore  par  le  moyen  des  instruments  de  per- 
cussion dont  nous  parlerons  plus  loin. 

Les  deux  variétés  de  rythme  sont  obtenues  par  la  disposi- 


io6 


(Il  M'ITIlli    VIII. 


tion  des  temps  faibles.  Dans  la  valse  lente,  le  rythme  peul 
être  représenté  par  le  symbole  suivant,  un  temps  fort,  deux 


Fie.  6. 


FTT=^T=T"FTT=T 


temps  faibles  égaux.  Dans  la  valse  viennoise,  le  rythme  est 
tout  différent.  Le  premier  temps  faible  est  le  prolongement 
du  temps  fort. 

Le  rythme  est  indépendant  de  la  hauteur  des  sons  et  de  la 


Fil 


r-f  i  r  r  m  ; 


mélodie  dont  toutefois  le  dessin  doit  s'accommoder  à  la  dis- 
tribution des  temps  forts  ou  faibles. 

Ainsi  la  structure  de  la  mesure  dépend  :  i°  du_jmnihxe-jdes 
temps  et  de  la  valeur  de  ces  temps;  2°  de  la  distribution  des 
temps   forts   et    faibles.    L'exemple    précédent    nous    montre 

quelle  différence  de  rythme  peuvent  présenter  2  mesures  (  -  ) 

à  3  temps,  contenant  l'une  et  l'autre  3  noires. 

On  distingue  généralement  les  mesures  en  mesures  : 

2  6 

A  deux  temps;  2  ou  <£  (une    ronde),  7  (une  blanche),  5 

4  S 

(une  blanche  pointée),  ...; 

3  3 

A   trois   temps;    -    (une   blanche  pointée),    3   (une    noire 

4  0 
pointée),  ...  ; 

A    quatre    temps;    4   ou   C   (une   ronde),    -g-    (une    ronde 

o 

pointée) 

Malgré  toute  la  complication  apparente  de  ce  système,  il 
est  très  facile  de  s'y  reconnaître.  Comparons  par  exemple  la 

mesure  à  2  temps  -  et  la  mesure  à  3  temps  T.  Elles  contien- 
°  4 


MESURE,    RYTHME 

,    INSTRUMENTS    DE 

PERCUSSION. 

107 

nent 

toutes  deux. 

la 

va 

eur  de  3  noires 

ou  G  croches; 

mais 

leurs 

symboles  et 

les 

r\ 

ihmes  correspon 

dants  sont  tout  diffé- 

rents 

Fis.  8. 


S 


r-r  '  UJ  T^ 


h  r  \u  ts 


Nous  savons  qu'une  mesure,  déterminée  par  Je  nombre  des 
temos  et  par  la  somme  des  valeurs  des  notes,  ne  l'est  cepen- 
dant pas   au  point  de  vue  du  rythme;  elle   en   peut  adopter 

'  3  \ 

un  grand  nombre  (  deux  par  exemple  pour  la  valse  -  )• 
\  -»/ 

Quand  on  ne  précise  pas,  par  un   numéro  du    métronome 

appliqué  à  un  signe  de  valeur,  le  mouvement  que  l'on  désire, 

on  l'indique  par  une  des  expressions  suivantes,  largo,  adagio, 

andante,  allègre,  presto  et  des  expressions  diminutives  et 

superlatives    qui   sont   censées   représenter   les   mouvements 

depuis   le    plus  lent  jusqu'au    plus   rapide.    Ces   indications 

laissent  l'exécutant  libre  dans  une  large  mesure  de  faire  ce 

qui  lui  plaît. 

G6.  Moyens  de  marquer  le  rythme.  Instruments  de  per- 
cussion. Bruits.  —  II  est  incontestable  que  le  rythme  pur  est 
à  l'origine  de  toute  musique  et  précède  la  mélodie.  Chez  les 
sauvages  la  musique  se  réduit  au  rythme;  elle  n'est  qu'un 
simple  bruit  servant  à  cadencer  les  mouvements.  Les  instru- 
ments de  percussion,  battements  de  mains  et  de  pieds,  chocs 
de  corps  solides  quelconques,  tambours,  castagnettes,  etc., 
ont  alors  une  importance  prépondérante.  Chez  les  peuples 
primitifs  la  musique  rythmique  est  relativement  riche,  la 
musique  mélodique  quasiment  absente.  Aujourd'hui  encore, 
naturellement  surtout  dans  la  musique  de  danse,  on  a  recours 
aux  mêmes  instruments  de  percussion  pour  accentuer  le 
rythme.  Cherchons  à  quelles  conditions  ils  doivent  satisfaire. 

L'instrument  parfait  de  percussion  doit  produire  un  simple 


io8  ciiai'iiiu:  vin. 

bruit.  Le  bruit  peut  se  définir  comme  une  sensation  audi- 
tive de  hauteur  indéterminable  (et  non  pas  indéterminée). 
Plus  un  son  est  brcf_et  complexe,  mieux  il  rentre  dans  la 
définition  du  bruit.  Cette  définition  va  se  justifier  par  l'ana- 
lyse de  quelques  bruits. 

L'expérience  classique  du  claquebois  montre  que,  dans  le 
choc  d'une  lame  de  bois  par  un  maillet,  la  sensation  auditive, 
qu'instinctivement  nous  appelons  un  bruit,  ne  se  distingue 
pas  aussi  nettement  que  nous  serions  d'abord  tentés  de  le 
croire,  d'un  son  de  hauteur  déterminée.  La  hauteur  est 
pratiquement  indéterminable,  sans  artifice,  mais  non  p>as 
indéterminée.  Il  suffit  de  frapper  successivement  des  lames 
convenablement  choisies  pour  entendre  une  véritable  gamme. 
Celte  expérience  prouve  que  l'oreille  reconnaît  très  diffici- 
lement la  hauteur  des  sons  de  faible  durée  même  à  peu  près 
bien  définis  ;  il  faut  un  artifice  pour  lui  faciliter  leur  locali- 
sation dans  l'échelle  musicale. 

Il  va  de  soi  d'ailleurs  que  la  hauteur  des  sons  est  d'autant 
plus  indéterminable  que  le  son  est  plus  complexe,  surtout 
quand  les  constituants  ne  forment  pas  une  série  harmonique 
et  qu'ils  sont  de  hauteurs  peu  différentes.  Si  donc  nous  vou- 
lons obtenir  une  sensation  auditive  dont  il  soit  à  peu 
près  impossible  de  reconnaître  la  hauteur,  un  bruit  .par 
définition,  nous  devons  nous  adresser  ci  des  sons  très  brefs 
et  très  complexes. 

L'expérience  montre  que  les  membranes  tendues  mises  en 
vibration  donnent  une  série  de  sons  partiels  non  harmo- 
niques et  très  voisins  les  uns  des  autres;  d'ailleurs  le  mouve- 
ment de  la  membrane  s'amortit  très  vite  :  le  son  est  bref  et 
complexe.  Voilà  pourquoi  les  instruments  types  de  percus- 
sion, les  instruments  rythmiques  par  excellence,  sont  la 
grosse  caisse,  le  tambour,  le  tambourin,  composés  d'une 
membrane  tendue  et  mise  en  vibration  soit  par  percussion, 
soit  par  friction. 

Mais,  si,  grâce  à  un  artifice,  nous  renforçons  l'un  des  sons, 
la  hauteur  cesse  d'être  indéterminée  malgré  la  brièveté  de  la 
sensation.  C'est  ce  qui  arrive  pour  les  timbales,  où  la  mem- 
brane est  tendue  sur  un  bassin  hémisphérique  et  accordée 
sur  la  masse  d'air  qu'elle  délimite.  La  timbale  tient  donc  le 
milieu  entre  les  instruments  proprement  dits  et  les  instru- 


MESURE,    RYTHME.    INSTRUMENTS    DE    PERCUSSION.  Joç 

ments  de  percussion  parfaits.  Il  en  est  de  même  des  instru- 
ments où,  par  nature,  l'un  des  sons  l'emporte;  par  exemple 
le  claquebois,  les  cloches,  et  généralement  les  instruments 
où  l'on  -excite  des  lames  d'acier  ou  de  verre.  Nous  pouvons 
citer  encore,  dans  la  catégorie  des  instruments  de  percussion 
parfaits,  les  castagnettes  et  les  crotales  :  le  son  est  bref  et 
complexe. 

Quelquefois  le  son  est  complexe,  mais  s'amortit  lente- 
ment; c'est  le  cas  des  cymbales,  du  triangle,  du  tamtam.  La 
hauteur  est  encore  à  peu  près  indéterminée;  mais  le  son  est 
musicalement  mauvais  à  cause  de  sa  durée.  Ces  instruments 
ne  peuvent  servir  que  pour  accentuer  brutalement  les  temps 
forts;  leur  emploi  comporte  toujours  quelque  vulgarité  On 
atténue  le  caractère  antimusical  du  son  en  l'éteignant  presque 
instantanément  par  le  contact  de  la  main. 


TABLE  DES  MATIÈRES. 


l'uget. 

Introduction 3 

Chapitre  I.  —  Hauteur  des  sons.  Intervalles.  Définition  du  savart.  5 

Chapitre  II.  —  Echelle    des   sons.   Gamme  à    tempérament  égal. 

Diapason  normal i ... 

Chapitre  III.  —  Résonance.  Théorie  physique  de  l'oreille 24 

Chapitre  IX.  —  Affinité  des  sons.  Constitution  de  la  gamme  ra- 
tionnelle. Principe  de  tonalité.  Modes 4^ 

Chapitre  V.  —  Consonances  et  dissonances G4 

Chapitre  VI.  —  .Modulation  et  transposition.  Des  tempéraments.  76 

Chapitre  VII.  —  Obtention  des  sons.  Tolérance  de  l'oreille.  Préci- 
sion du  mécanisme 94 

Chapitre  VIII.  —  Mesure.  Rythme.  Instruments  de  percussion...  100 


FIN    DE    LA    TABLE    DES    MATIERES. 


Bibliothèques 

Université  d'Ottawa 

Echéance 


28  0CT.1989 


•^  ^  \V><' 


.  -"  i 


Libraries 

University  of  Ottawa 

Date  Due 


3900 


5  0137  5  563  1b